No.5
- 回答日時:
#2です。
問題の「(a,0)を中心に持つ半径rの円(aは正の定数)」の円の中心が(0,a)の間違いであれば
円の方程式は#4さんも示されている
x^2 +(y-a)^2=r^2 (a>0) …(1)
となりますね。
放物線y=x^2 …(2)
とは原点(0,0)で常に接します。
(2),(1)から
y+(y-a)^2=r^2
y^2+(1-2a)y+a^2-r^2=0 …(3)
原点(0,0)で接するときは(1)、(2)でy=0とおいて
x=0(重解),r=a(a>0)
このとき(1)の円:x^2+(y-a)^2=a^2
接点O(0,0)
原点(0,0)でない点で接するときは(3)がy>0の解を持つときで
y>0より 2a-1>0 ∴a>1/2
判別式D=(1-2a)^2-4(a^2-r^2)=4r^2+1-4a=0 ∴r=√(4a-1)/2 (a>1/2)
このとき(1)の円:x^2+(y-a)^2=(4a-1)/4 (a>1/2)
接点B,C(±√{(2a-1)/2},(2a-1)/2),(a>1/2)
以上まとめると
0<a≦1/2のとき r=a (接円は1個)
a>1/2のとき、r=a, {√(4a-1)}/2 (接円は2個)
参考図)0<a≦1/2のとき(原点で接する円のみ) 水色の円
a>1/2のとき(原点と原点以外で接する2つの円)
青い円(接点:原点)、赤い円(接点:原点以外)
(円の中心は全て(0,a)共通)
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
質問者の書き込みを見てると、どうやら x^2 +(y-a)^2=r^2 のようだ。
良いとこまで、考えてるんだが 惜しいね。
y=x^2を円の方程式に代入すると、y^2-(2a-1)y+(a^2-r^2)=0 ‥‥(1)
y≧0 に注意を払わなければならない。
・y>0で重解を持つなら判別式=0 → 4r^2=4a-1。この時、 a^2-r^2=(2a-1)^2/2≧0だから
2a-1>0
・2a-1≦0 で重解を持つのは、原点で接するとき つまり(1)から a>0より a=r
以上から
a>1/2 のとき、4r^2=4a-1。 0<a≦1/2 の時、a=r。
No.3
- 回答日時:
こういう質問が一番困る。
>(a,0)を中心に持つ半径rの円(aは正の定数)が、放物線y=x^2 と接するrの条件をaの値で分類して答えよという問題なのですが、円の方程式はx^2 +(y-a)^2=r^2とおけて
(a,0)を中心に持つ半径rの円は (x-a)^2+y^2=r^2。
質問者が書いてるように、x^2 +(y-a)^2=r^2 ではない。どっちが本当なんだ?
(x-a)^2+y^2=r^2 と x^2 +(y-a)^2=r^2 では回答が違ってくる。
問題としては、(x-a)^2+y^2=r^2 の方が面白いんだが。
No.2
- 回答日時:
y=x^2
y'=2x
なので
共通接線:y=2p(x-p)+p^2 …(1)
接点:P(p,p^2) (p>0)
となります。
接点P(p,p^2)を通る法線:y=-{1/(2p)}(x-p)+p^2 …(2)
円の中心A(a,0)のaは法線(2)とx軸との交点のx座標と求められる。
0=-{1/(2p)}(a-p)+p^2
{1/(2p)}(a-p)=p^2
a-p=2p^3
a=2p^3 +p
円の半径rは
r=AP=√{(a-p)^2+(p^2)^2}=(p^2)√(4p^2+1)
a>0に対してpが1つ存在し、r>0が1つ定まる。
(∵aはpの単調増加関数、rもpの単調増加関数)
このaとrの関数関係r=f(a)のグラフを描いて添付しておきます。
No.1
- 回答日時:
「(a, 0) を中心に持つ半径 r の円」の方程式は (x-a)^2+y^2 = r^2 ですよね.
判別式?
ありがとうございます
円の式までは、上に書いた通り出ています。
判別式というのは、(x-a)^2+y^2 = r^2にy=x^2を代入した式の判別式という事ですか?
だとした時、
この判別式>0ならば原点以外の2点で接する
判別式=0ならば原点で接する
判別式<0ならば接しない…?という感じでしょうか
そしてこれと、上に書いた原点のみで接する条件2r-1≦0、原点以外でも接する条件2r-1>0の関係は…?
すみません頭がこんがらがってきました…
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