2曲線C.Dが必ずしも 重解<=>接するではない理由について 放物線C,y＝-1/4x^2+k 円D

2曲線C.Dが必ずしも 重解<=>接するではない理由について

放物線C,y＝-1/4x^2+k
円D，x^2＋y^2=2
が接するのはこれらの二つの式を連立して得られる2次方程式が重解を持つときであるとして進めていくと、
k=3/2の時 連立方程式は重解を持つのですが、
この時2曲線CDは互いに共有点すらもっていないようです。

なぜかわかる方教えて下さいm(_ _)m

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2019/05/28 11:53

連立方程式

　　x^2 + y^2 = 2
　　y = -(1/4)x^2 + k
からxを消去してyの方程式
　　-(1/4)y^2 + y + (1/2 -k)=0
を作ると判別式Dは
　　D = 1+(1/2 -k)
なので
　　k=3/2
のときにD=0となって重解を持ち、解は
　　y = 2
となるが、x^2 + y^2 = 2を満たすyは実数の範囲では
　　|y|≦√2＜2
なのでおかしいな、という話でしょう。
　　y=2のとき、xはi√2という純虚数である。しかし、二つの方程式を「x,y平面上の曲線の方程式」だと考えてるんですから、x,yは実数だけに限定しなくちゃいけない。
　言い換えれば、連立方程式からxを消去して作ったyの方程式は、元の連立方程式の情報を全部受け継いでいる訳ではない（この場合xが実数になるかどうかは見えなくなる）ので、yの方程式の解だけを見て（xを評価せずに）結論を急いじゃいけない、ということですな。

　ご質問を整理しますと、yの方程式
　　-(1/4)y^2 + y + (1/2 -k)=0
には、k=3/2のときに限って実数の重解 y=2 がある。てことは、「k≢3/2ならば二つの曲線が接することはない」と言える。
　さて、k=3/2のときに連立方程式
　　x^2 + y^2 = 2
　　y = -(1/4)x^2 + k
には（実数の重解どころか）実数解がない。だから、k=3/2であっても、どんな実数xを持ってきても y=2 はこの連立方程式の解には（もちろん重解にも）ならない。なので「k=3/2ならば二つの曲線が接することはない」と言える。
　以上から
　　「k≢3/2 ⇒ これら二つの曲線が接することはない」
　　「k=3/2 ⇒ これら二つの曲線が接することはない」
の二つが言えたから、dilemma (「A⇒Bかつ¬A⇒Bのとき、Bである」という推論) により、
　　「(kがどんな実数でも）これら二つの曲線が接することはない」
と言える。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/05/28 00:01

共有点を持たないときは、実数解が一つもない。

この場合、普通の日本語では、重解があるとは言わない。実数の重解があるとき、2曲線が接すると考えるのが正しい。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/05/27 19:49

その重解は

yは実数だけれども
xは虚数解だから
共有点は無いのです

y=(-1/4)x^2+3/2
x^2+y^2=2
4y=-x^2+6
x^2=6-4y
6-4y+y^2=2
y^2-4y+4=0
(y-2)^2=0
y=2
x^2+4=2
x^2=-2
x=±i√2

(x,y)=(±i√2,2)