定義集を作っています。
集合や写像を定義してからN,Z,Q,R,Cの四則演算等や環や体を定義しました。
そして、e:=lim[t→0](1+t)^(1/t)をε-δで定義しました。
この後、累乗の定義をしようとしたのですが
後でいちいち定義の拡張をしなくていいように
複素数の複素数乗(z^w (z,w∈C))を一気に定義してしまおうと思っています。
先ずはz^wの定義は
z^w:=exp(log|z|+iArg(z)) (Arg(z)は0<arg(z)≦2π)
だと思いますが
logとargの定義をしてしまわねばなりません。
argは図を使わずに数式として定義は出来ないのでしょうか?
(図で定義するのなら先ず図とは何かを定義しなければなりませんよね)
そして、logはmap f:R→R;R∋∀x→f(x):=e^xの逆写像として定義されると思います。
然しながらここでe^xと累乗を使ってしまってます(累乗は未定義なのに)。
どうすればlogを累乗を避けて定義できますでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
一般的な構成法としては、exp() とその逆関数の log() は個別に定義しておいて、
a ^ b = exp(b * log(a))
を使って定義するというのが自然ではないかなと思います。
exp(x) は、 1/(n!)x^n の無限和で定義できますし、log(x) はそれの逆関数としてしまっても良いかもしれません。
ご回答有難うございます。
> 一般的な構成法としては、exp() とその逆関数の log() は個別に定義しておいて、
> a ^ b = exp(b * log(a))
えっ?このような定義があったのですか。
つまり、z^w=exp(w*log(z))と定義されるのでしょうか?
するとこのlogはCを定義域とする写像になりますよね。
(それともこのlogはlog|z|を意味しているのでしょうか?)
No.4
- 回答日時:
積分を使い
ln(x) = ∫[1→x]{1/t}dt
と定義することもできるようです。
No.3
- 回答日時:
えっと....
普通は
z^w=exp(w*log(z))
で定義するんじゃないでしょうか. もちろん右辺の log z は C - { 0 } を定義域とする (無限多価) 関数です. そもそも,
z^w:=exp(log|z|+iArg(z)) (Arg(z)は0<Arg(z)≦2π)
の右辺にはどこにも w が現れていないですよ.
log については, exp の逆関数と定義するか
log (1 + z) = sum(i: 1→∞) (-1)^(i+1) z^i / i
と定義するか. この定義だと収束半径は 1 なので, |z - 1| ≧ 1 なる z については
log z = 1 + log (z / e)
としておくかな.
No.2
- 回答日時:
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 内積 3 2022/12/04 18:41
- 高校 合成関数の定義域につきまして 1 2022/05/18 17:26
- 数学 log{f(x)}=xβlogα ↓ f(x)=e∧(xβlogα) こうなるlogの定義 4 2023/04/18 12:10
- 数学 0の逆数について 7 2022/07/21 16:24
- 数学 数学の複素数の証明問題です。 (1)複素数全体の集合に2要素間の実数と同様な大小を定義できないことを 2 2022/08/28 11:17
- その他(プログラミング・Web制作) どういうプログラムで組みますか?google colabでやってるんですけど、出来る方お願いします。 1 2022/07/06 09:28
- 数学 log絶対値Xの微分 写真のように定義から計算しようとしたら、1/Xになりませんでした。どこが間違っ 3 2022/12/13 11:04
- その他(プログラミング・Web制作) どういうプログラムで組みますか?google colabでやってるんですけど、出来る方お願いします。 1 2022/07/17 18:41
- 日本語 複合名詞(造語)について教えて欲しいです 2 2022/05/22 17:14
- 数学 領域Dで定義されたf(z) 3 2022/09/28 03:02
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
べき乗
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
e<3の証明を教えてください。
-
p⇒q=(¬p)∨qについて
-
複雑な家庭とは
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
lim n→0 =n=0となりますが lim ...
-
なぜ小数は自然数ではないので...
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
数学の両辺2乗と√について教え...
-
eの0乗は1ってどういう原理です...
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
1未満と1以下の違い
-
合成関数の定義域と値域の所が...
-
「基準」や「定義」が分からな...
-
数字の1とは何なのか?
-
excel vba 名前付きセルが存在...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
べき乗
-
1未満と1以下の違い
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
理論物理学でよく用いられる地...
-
(-1) ^2πってなんで1じゃないん...
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
変数の宣言の名称を教えてくだ...
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
日本語 ことば ひとまわり ふた...
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
質問の定義が分からないので確...
-
なぜ、直角三角形ではないのにs...
-
min関数 一橋大学過去問
-
質問の定義が分からないので確...
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
excel vba 名前付きセルが存在...
-
数字の1とは何なのか?
-
マイナス7は素数ですか?
-
「logx^2=2logx」が間違って...
おすすめ情報