6は何乗しても下一桁が6

6は何乗しても下一桁が6になりますが（5もそうですよね）
これを何故そうなるか、数式で（数学的に）証明することは
出来ますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： a-saitoh 回答日時： 2007/06/08 00:01

なんだか課題の丸投げっぽいですが．

帰納法で証明できますね．

証明すればいいこと：
全ての整数n>=1について，6^n=10a+6となるような非負整数aが存在する．

帰納法で証明する

n=1　のときには，　6^1=　0・10+6なので仮説は成り立つ(a=0)．

n=kの時に仮説が成り立つとする．
6^k= 10x+6　となるxが存在する．
6^(k+1)　=6・6^k=6・(10x+6)=6・10・x+36=10(6x+3)+6
xは非負整数ゆえ，6x+3は非負整数．
よって，n=k+1のときも仮説は成り立つ(a=6x+3とおけばよい)．

よって全ての整数n>=1について仮説が成り立つ．

この回答へのお礼

知人の掲示板で話題が出ていたのですが、答えがわからないので
質問してみました。回答と詳しい解説ありがとうございました。

お礼日時：2007/06/08 00:29

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/06/07 23:51

下一桁が 6 ⇔ 10で割るとあまり 6

⇔ 5で割るとあまり 1 かつ 2で割るとあまり 0

6 ≡ 1 mod 5 よって 6^n ≡ 1 mod 5
6 ≡ 0 mod 2 よって 6^n ≡ 0 mod 2


。。。しまった答えちゃった。。。

この回答へのお礼

早速ありがとうございました。
シンプルに証明できるんですね。

お礼日時：2007/06/08 00:27