A 回答 (4件)
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No.1
- 回答日時:
> z=x+iyとおいて、(zのバー)の実部、虚部がそれぞれ、実平面上で連続であるから、f(z)=(zのバー)は連続であるとしてもよいのですか?
だめです.fの定義域が複素平面全体なのだから
複素平面全体で連続であることを示さなければいけません.
・・・ところで,大学生ですか?高校生ですか?
複素関数の連続性なんてやってるんなら大学生だと思いますが
大学生で「授業で扱ってない」から「できない」なんていうのは
駄目駄目ですよ.
この回答への補足
授業で扱った形式で解いてみようという意図なので…
実部、虚部がそれぞれ、実平面上で連続である⇒その関数は複素平面上で連続とはいえないのですか?
No.2
- 回答日時:
|f(z) - f(w)| = |\bar{z} - \bar{w}| = |\bar{z - w}| = |z - w|
より明らか(\bar{} は上付きバーのことね)
No.3
- 回答日時:
一般に複素関数f(z)=Ref(z)+i*Imf(z)について、
|f(z)-f(z0)|=|Ref(z)-Ref(z0)+i(Imf(z)-Imf(z0))|
≦|Ref(z)-Ref(z0)|+|Imf(z)-Imf(z0)|
から、z→z0のとき、|Ref(z)-Ref(z0)|→0かつ|Imf(z)-Imf(z0)|→0
ならば、|f(z)-f(z0)|→0
f(z)=zの共役、として考えてみれば良いと思います。
No.4
- 回答日時:
>実部、虚部がそれぞれ、実平面上で連続である
>⇒その関数は複素平面上で連続とはいえないのですか?
疑問点を数学的に定式化すると見通しがよくなるかも。
写像 f(z) : C -> C について、実部、虚部がそれぞれ連続とは、
実数への射影 Re : C -> R ( a + bi -> a )、
虚数への射影 Im : C -> R ( a + bi -> b ) 各々について、
写像の合成
Re(f(z)) : C -> R、
Im(f(z)) : C -> R
を考えているのですね。これが「複素平面 C 上で連続」であれば
f(z) = Re(f(z)) + i * Im(f(z)) なので、f(z) も連続です。(和や積が連続だから)
しかし、p : R -> C ( a -> a + i*0), q : R -> C ( b -> 0 + bi) をもって、
Re(f(p(x)) : R -> R
Re(f(q(y)) : R -> R
Im(f(p(x)) : R -> R
Im(f(q(y)) : R -> R
の連続性を仮定したとして、これから f(z) : C -> C の連続性を示すのは一般には無理そうです。
f が加法的( f(z1+z2) = f(z1)+f(z2) )であれば、z = p(Re(z)) + q(Im(z)) だから f(z) = f(p(Re(z))) + f(q(Im(z)) だから連続ですね。
反例求む>誰か
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