連立方程式

Question

a,bを複素数として、αをa、βをbの共役複素数としたとき、（普通αはaの上にバーと書くと思いますが、文字がないのでご容赦下さい）

①　a＋α＝１
②　b+β＋aα＝１
③　a＋α+aβ＋αb=1
④　１＋２aα＋bβ＝０

を満たすものはあるでしょうか？
a=x+y・sqrt(p) （ｘ、ｙ：実数、ｐ：素数）の共役α＝x-y・sqrt(p) 
の場合でもいいのですが・・・・。

解き方をおしえてください！

mtrajcp · Accepted Answer

a+α=1…①
b+β+aα=1…②
a+α+aβ+αb=1…③
1+2aα+bβ=0…④

①を③に代入すると
1+aβ+αb=1
↓両辺に-1を加えると
aβ+αb=0…⑤

②の両辺に-b-βを加えると
aα=1-b-β
↓これを④に代入すると
1+2(1-b-β)+bβ=0
3-2b-2β+bβ=0
3-2b+β(b-2)=0…⑥

②の両辺に-b-aαを加えると
β=1-b-aα…⑦
↓これを⑤に代入すると
a(1-b-aα)+αb=0
a-ab-αa^2+αb=0
a-ab+α(b-a^2)=0
a(1-b)+α(b-a^2)=0
a(1-b)+(1-a)(b-a^2)=0
b(1-2a)+a-a^2+a^3=0
a(1-a+a^2)=b(2a-1)
b=a(1-a+a^2)/(2a-1)

a≒0.3473
α=1-a≒0.6527
b=a(1-a+a^2)/(2a-1)≒-0.879414194
β=1-b-a(1-a)≒1.652731484

stomachman · Answer

解いてみました。（計算間違いしてなければですが）解が存在します。
　フツーに、まずはαを消去して、次に
　　U = b - β 
とおいてbとβを消去し、という風に未知数を消去していくとUだけの3次方程式に帰着します。その3つの実数解のうちひとつだけが、Uを係数とするaの2次方程式が実数解を持つような解で、…と地道にやっていくと、実数解(a,b,α,β)が出せました。
　でも検算やってないので、ご報告のみ。

stomachman · Answer

No.2のミスプリ修正です。

>>　　S = ((a - b)/2)^2

じゃなくて

S = ((a - α)/2)^2

でした。失礼。

stomachman · Answer

No.1へのコメントによれば、「複素共役」は間違いで、単に二つの実数aとαについて、
　　a = A + √S, α = A - √S
を満たす実数A, Sが存在するとき、「aとαは共役」と言う、ということらしい。
★ 我流の用語をでっち上げるんなら、既存の用語と紛らわしくない名前を付け、明確な定義を示さなくちゃ話になりません。

ともあれ、ま、そういうことでしたら：

勝手な実数を二つ持ってきて、小さくない方をa、他方をα (つまりa≧α)とします。そして、
　　A = (a + α)/2
　　S = ((a - b)/2)^2
とすれば、aとαは「共役」になっていることが確かめられるでしょう。つまり、どんな実数のペアも（おっしゃるところの)「共役」である、ということです。だから、「共役」なる用語には何の意味もありません。

従ってご質問は（「共役」とか全然関係なくて、単に）
　「①〜④を満たす4個の実数(a,b,α,β)はあるか？ 」
という話です。あとは頑張って〜

stomachman · Answer

> ④　１＋２aα＋bβ＝０

を満たす解はありません。なぜなら
　　aα = |a|^2 ≧0, bβ = |b|^2 ≧0

> a=x+y・sqrt(p) （ｘ、ｙ：実数、ｐ：素数）の共役α＝x-y・sqrt(p)

これだとa,αともに実数であり、αはaの共役複素数ではありません。

連立方程式

a+α=1…①

解いてみました。

No.2のミスプリ修正です。

No.1へのコメントによれば、「複素共役」は間違いで、単に二つの実数aとαについて、

> ④ １＋２aα＋bβ＝０

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