和の順序交換について

Σ２ｋ－１（ｋ＝１～∞）×ΣPi（i＝ｋ～∞）が
Σ（i=1～∞）［Σ（２ｋ－１）（ｋ＝１～i）］Pi
とできることが今一つ理解できません。直感的にもよくわかりません。どなたか教えてください!お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/06/11 23:31

和の順序を交換するには、一様収束などの条件が必要ですが、それは端折って、

こういう場合、私は

ｉ
４│◯│◯│◯│◯
　┼─┼─┼─┼─
３│◯│◯│◯│
　┼─┼─┼─┼─
２│◯│◯│　│
　┼─┼─┼─┼─
１│◯│　│　│
　┼─┼─┼─┼─
　　１　２　３　４　ｋ

という感じで、和を取る対象を三角形で書いて、(k が 1 なら i = 1, 2, 3, ...、k が 2 なら i = 2, 3, 4, ... ) これを i, k 逆転させて考えています。

つまり i が 1 なら k = 1, i が 2 なら k = 1, 2、i が 3 なら k = 1, 2,3 ...

他に計算でやりたければ

δ(i, k) = 1 ( i ≧ k ) , = 0 ( i ＜ k ) のようなものを持ち出して

Σ_{k=1}^{∞}(2k-1Σ_{i=k}^{∞}P_i)
= Σ_{k=1}^{∞}(2k-1Σ_{i=1}^{∞}δ(i,k)P_i)
= Σ_{k=1}^{∞}Σ_{i=1}^{∞}(2k-1)δ(i,k)P_i

として、和を交換

= Σ_{i=1}^{∞}Σ_{k=1}^{∞}(2k-1)δ(i,k)P_i
= Σ_{i=1}^{∞}Σ_{k=1}^{i}(2k-1)P_i

この回答へのお礼

返信ありがとうございました!!よく理解できました。
また何かありましたときは教えてください！

お礼日時：2007/06/12 17:28

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/11 17:10

　ｋで展開してみてはいかがでしょうか。

　次のように、式変形で成り立つことが確認できます。
　直感的に考えるとしたら、右辺はPi項で括った形になっていますから、左辺の式でPi項が何個になるか勘定していけば、奇数の和になっていることから、右辺に変形できると考えることもできるかもしれませんが、思い違いをする恐れが大きいので、私なら下のように展開しないと安心できません。

　　[k=1→∞]Σ(2k-1)×[i=k→∞]ΣPi
　＝[i=1→∞]ΣPi ＋3×[i=2→∞]ΣPi ＋5×[i=2→∞]ΣPi + ・・・
　＝(P1+P2+P3+P4+ ・・・ ) + 3(P2+P3+P4+ ・・・ ) +5(P3+P4+ ・・・　) + ・・・
　＝P1 +(1+3)P2 +(1+3+5)P3 +(1+3+5+7)P4+ ・・・ +[k=1→i]Σ(2k-1)Pi +　・・・
　＝[i=1→∞]Σ{[k=1→i]Σ(2k-1)}Pi

この回答へのお礼

返信ありがとうございました!!僕には粘り強さが足りないみたいでした。これからもなにかありましたらその時はよろしくお願いします。

お礼日時：2007/06/12 17:29