整数の問題なんですが・・

回答を見てもピンときません・・・
（問題）
2桁の自然数があります。十の位の数字と一の位の数字を入れ替えた数から元の数をひくと正になり、かつその結果が27の倍数になります。このような自然数は何個ありますか。

（回答）
　　9個

No.1 回答者： himajin100000 回答日時： 2007/06/14 13:52

元の数を

10x + y (1<x<9,1<y<9) と表すことにすると、十の位の数字と一の位の数字を入れ替えた数は 10y + xである

(10y + x) - (10x + y) = 9(y - x)

さてこの二つの数差は 27, 54,81の可能性がある。(それ以上だと3桁の数が出てくるため、)

よって

i) 9(y - x ) = 81の時、
y - x = 9
だが、このようなx,yの組は無い

ii) 9(y-x) = 54の時
y - x = 6
このようなx,yの組は
(3,9),(2,8),(1,7)の3通り

iii) 9(y-x) = 27の時
y - x = 3
(6,9),(5,8),(4,7),(3,6),(2,5),(1,4)の6通り

よって3通り + 6通りで合計9通りが答え。

No.2 ベストアンサー 回答者： unazukisan 回答日時： 2007/06/14 13:53

２桁の数字をａ，ｂとすると

１０ａ＋ｂとなりますね？

十の位と一の位を入替えた数字は
１０ｂ＋ａ

それを引くと、
１０ａ＋ｂ－（１０ｂ＋ａ）＝９ａ－９ｂ＝９（ａ－ｂ）

その結果が２７の倍数とのことですね。
２７＝９×３なので、（ａ－ｂ）が３の倍数になればいいことがわかりますか？

そこがわかれば、あとは（ａ－ｂ）が３の倍数になって、しかも自然数である組み合わせを見つけてあげれば、答えは９個見つかるはずです。

No.3 回答者： fukuda-h 回答日時： 2007/06/14 13:56

a,bを自然数としてもとの数を10a+bとおきます

10b+a-(10a+b)＝9(b-a)>0
b-a>0で27の倍数になるからb-aは３の倍数または６の倍数になる
（なぜなら1＜b-a＜8）
実際にa,bは1から9までの整数だからです

No.4 回答者： banakona 回答日時： 2007/06/14 13:57

＞2桁の自然数があります。

により「十の位」は０でないことになります。かつ

＞十の位の数字と一の位の数字を入れ替えた数から元の数をひくと正になり

ということは、「元の数」は「入れ替えた数」よりも小さい

ということです。例えば、「９０」はダメですね。９０－９＝８１＝２７×３だから、うっかりするとＯＫと判定しそうですが、これは「入れ替えた数の方が小さい」のでアウトです。
こうして数えていくと９個になります。

No.5 回答者： kageta 回答日時： 2007/06/14 14:00

２桁の自然数は１０～９９ですね。

各位の数値を入れ替えて引いたら正になるのだから、条件が絞り込まれます。
例えば、１３であれば、入れ替えた数値は３１です。元の数値を引くと正になります。３１－１３＝１８（正）
しかし、その逆は条件から外れます。１３－３１＝－１８（負）
ここで１８は２７の倍ではありません。
と考えると、まずは２７の倍数の２桁の自然数を考えましょう。
２７・５４・８１の３つですね。
ここで着目して欲しいのは全て９の倍数であることです。
元々２７が９の倍数なんですけどね。
さて、（１０ｂ＋ａ）－（１０ａ＋ｂ）＝２７という方程式を考えます。
これを簡単にすると、ｂ－ａ＝３となります。
ａ＝１であればｂ＝４です。
つまり元の数値は１４が一つ出てきました。
同じように解いていきましょう。
２７に関しては、６つの数値が出ると思います。
同様に５４についても解いてみれば正解が出ますよ。
ちなみに５４の時が３つで、８１にはありません。

No.6 回答者： syouji_08 回答日時： 2007/06/14 14:27

元の２桁の数を10a+bとおくと、

１０の位と１の位の数を入れ替えた数は10b+aと表せます。
まず、引いた数は正になる事から、
10a+ b - (10b+a) = 9(a-b) > 0より、
a>bとなります。また、a,bは桁の数である事から１桁となります。
また、bが０であれば、入れ替えた数が１桁の数になってしまうので、
bは０にはなりません。

以上より、0 < b < a ≦ 9という条件がつきます。
また、9(a-b)は２７の倍数である事から、
(a-b)は３の倍数にならなければなりません。

よって、３の倍数になるケースは、
0 < b < a ≦ 9のときa-bの最大値はa=9,b=1のとき8となる事から、
a-b = 3 , a-b = 6の２通りしかありません。
注意しなければならないのが、a-b = 0も含めて考えてしまう事です。
この場合、a = bとなってしまうので、b < aの条件に反するわけです。
以上により、

a-b = 3のとき、

(a,b) = (4,1),(5,2),(6,3),(7,4),(8,5),(9,6)

a-b = 6のとき、

(a,b) = (7,1),(8,2),(9,3)

である事から、題意を満たす自然数は９個となります。

このように、条件を整理しながら数え上げていくだけの問題ですね．．。

この回答へのお礼

自分の参考書の解答に一番近いご回答で大変わかりやすかったです＾＾ありがとうございました★

お礼日時：2007/06/18 12:47