No.1
- 回答日時:
Σn^2
と
Σn×Σn
は同じではないということで成り立たないですね。詳細の証明は非常に面倒ですが
(x1y1+x2y2+・・・+xnyn)
(x1+x2+・・・+xn)(y1+y2+・・・+yn)
この2つは等しくありませんね。
No.2
- 回答日時:
成り立ちません。
簡単な例で
x1=2,X2=3
y1=5,y2=6
でやってみても
左辺は
(2*5)+(3*6)=28
右辺は
(2+3)*(5+6)=55
ようするに3*5と2*6が左辺には無いからです。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
それはひとえに、和の範囲がどうか?ということによります。
ΣxΣy の意味も微妙で、(Σx)・(Σy) の意味か、Σ(xΣy) の意味かで成立つかどうかが変わる場合があります。(普通は(…)をつけなくても、和の範囲が明確であるため、もしくは文脈から、どちらの意味か判断できます。またどちらに解釈しても成立つ場合には(…)は必要ありません。)
ご質問文には Σ の範囲が書かれていないので、仮に
Σ_{0≦x≦N, 0≦y≦M} xy
= Σ_{0≦x≦N} x ・Σ_{0≦y≦M} y
= Σ_{x=0}^N x ・Σ_{0=y}^M y
という意味だとします。「_」は下付き、「^」は上付きを意味します。
そういう意味なら成立ちます。
[証明]
Σ_{0≦x≦N, 0≦y≦M} は 0≦x≦N, 0≦y≦M の範囲を満たす (x,y) のすべてについて、xy の和をとれということなので、
Σ_{0≦x≦N, 0≦y≦M} xy
= 0・0 + 0・1 + 0・2 + ・・・・・ + 0・(M-1) + 0・M
+ 1・0 + 1・1 + 1・2 + ・・・・・ + 1・(M-1) + 1・M
+ 2・0 + 2・1 + 2・2 + ・・・・・ + 2・(M-1) + 1・M
+ ・・・・・
+ N・0 + N・1 + N・2 + ・・・・・ + N・(M-1) + N・M
= 0・[ 0 + 1 + 2 + ・・・・・+ (M-1) + M ]
+ 1・[ 0 + 1 + 2 + ・・・・・+ (M-1) + M ]
+ 2・[ 0 + 1 + 2 + ・・・・・+ (M-1) + M ]
+ ・・・・・
+ N・[ 0 + 1 + 2 + ・・・・・+ (M-1) + M ]
= 0・Σ_{0≦y≦M} y
+ 1・Σ_{0≦y≦M} y
+ 2・Σ_{0≦y≦M} y
+ ・・・・・
+ N・Σ_{0≦y≦M} y
= ( 0 + 1 + 2 + ・・・・・+ N ) ・Σ_{0≦y≦M} y
= Σ_{0≦x≦N} x・Σ_{0≦y≦M} y
(証明終わり)
ちなみに、この場合は、Σ_{0≦x≦N} (x Σ_{0≦y≦M} y) にも等しくなります。
例えば、次の場合は、Σxy = Σx・Σy は成立ちません。
Σ_{0≦x≦N, 0≦y≦x} xy
= Σ_{0≦x≦N} ( x Σ_{0≦y≦x} y )
≠ (Σ_{0≦x≦N} x)・(Σ_{0≦y≦N} y)
Σ_{0≦x≦N, 0≦y≦M, x≠y } xy
= Σ_{0≦x≦N} ( x Σ_{0≦y≦M,y≠x} y )
≠ (Σ_{0≦x≦N} x)・(Σ_{0≦y≦M} y)
Σ_{0≦x=y≦N} xy
≠ (Σ_{0≦x≦N} x)・(Σ_{0≦y≦M} y)
などです。
和の中で、x と y が独立に変化していない場合は、掛け算に分解できないです。ANo.1とANo.2のご回答は、独立に変化していない例を示していて、その場合は、一般には Σxy = (Σx)(Σy) は成立ちません。
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