(1)
2x+3y≦6n, x≧0, y≧0 (aは正の整数)
を満たす点P(x,y)で、x,yがどちらも整数であるもの(格子点)の個数を求めよ。
(2)
2x+3y+6z≦6n, x≧0, y≧0 z≧0 (aは正の整数)
を満たす点P(x,y,z)で、x,y,zがすべて整数であるもの(格子点)の個数を求めよ。
という問題で、
(1)は不等式を図示して
y=k(k=1,2・・・)とy=-(2/3)x+2n の交点は( 3n-(3/2)k , k )
交点が整数であるために2k=mとおくと、
y=m上の格子点の数は 3n-3m+1
よって、1≦y≦2nにおいて、y=(偶数)上の格子点の数は
Σ[m=1,n](3n-3m+1)
=(3/2)n^2-(1/2)n
また図から、y=2k-1上の格子点の数は
y=2k=m上の格子点の数より1多いので、
1≦y≦2nにおいて、y=(奇数)上の格子点の数は
Σ[m=1,n]{3n-3m+2}
=(3/2)n^2+(1/2)n
y=0上の格子点の数は3n+1より、
求める値は
(3/2)n^2-(1/2)n+(3/2)n^2+(1/2)n+3n+1
=3n^2+3n+1
ここまでは分かりました。
(2)はどうやっていいか手の付け方も分かりません。
(1)を使って簡単にして解くような気はします(分かりませんが)。
分かる方お願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#2です
方程式 2x+3y+6z=6n は、x-y-z空間での平面を表す方程式ですね。
この平面は3点、(3n,0,0)(0,2n,0)(0,0,n)を通ります。(それぞれの値を代入して方程式が成立する)
(この3点を通る平面の方程式ということです)
立体図形を考えずに式変形で追っていくなら、z=1 のとき 2x+3y+6z=6n は 2x+3y=6(n-1)
ですから、格子点の数は3n^2+3n+1のnの値を1つ小さくしたものとわかります。
それだと味気ないので、立体図形を考えると、
四面体を平面z=1で切った切り口は、(切り口の平面を改めて新しいx-y平面と考えれば)
(0,0)(3(n-1),0)(0,2(n-1))の3点を結ぶ三角形だとわかります。
No.4
- 回答日時:
#1 です. 大意は #3 と同じです.
2x + 3y ≦ 6(n-z) から z ≦ n は明らかだし, 整数 k に対して z = k のときの整数点の個数も (1) で計算できてるでしょって話.
No.2
- 回答日時:
(1)はx-y平面上の、(0,0)(3n,0)(0,2n)の3点を結ぶ三角形の内部(境界を含む)の格子点の数を求めました。
(2)はx-y-z空間の、(0,0,0)(3n,0,0)(0,2n,0)(0,0,n)の4点を結ぶ四面体の内部(境界を含む)の格子点の数を求めます。
この四面体をz=0,1,2,3,・・・,n 平面で次々に切っていくと、それぞれの格子点の数は、
z=0 のとき(これはx-y平面そのまま) 3n^2+3n+1個
z=1 のとき 3(n-1)^2+3(n-1)+1個
z=2 のとき 3(n-2)^2+3(n-2)+1個
・・・
z=n のとき 3(n-n)^2+3(n-n)+1=1 個
となるので、
Σ[k=0,n](3k^2+3k+1)
を計算すればよいことがわかります。
回答ありがとうございます。
>(0,0,0)(3n,0,0)(0,2n,0)(0,0,n)
とありますが、(0,0,n)の値はどうやって出しましたか?
(1)の時はy=-(2/3)x+2nとx,y軸の交点を出す方法で出来ましたが、
(2)は変数が3つあるのでやり方がわかりません。
>z=1 のとき 3(n-1)^2+3(n-1)+1個
底面をxy平面とすると、z軸の正の方に向かっていくと
3n^2+3n+1のnの値が1つずつ小さくなっていくということですよね?
どうして1つずつ小さくなっていくと分かったのですか?
詳しく聞いてごめんなさい。
お願いします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
2次関数 y=ax2+bx+cのxを求め...
-
数学の3大分野、代数・幾何・解析
-
エクセルでxを求めたいのですが!
-
高2数学の質問です。 円の方程...
-
遊んでいそうな顔=イケメンモ...
-
空間上の円の方程式について
-
実数係数4次方程式の判別式
-
円の方程式?円の関数じゃないの?
-
パッと調べてみたところ無かっ...
-
連立方程式の解が交点の座標と...
-
何年生で習う範囲ですか?
-
z^3=1を満たす複素数を答えよ、...
-
因数分解って何に役立つの?
-
xの5乗=1 の答えを教えてく...
-
質問です
-
一次方程式の問題
-
aを実数の定数とする。xの方程...
-
このイラスト計算パズルの答え...
-
なぜ未知数の数だけ方程式が必...
-
数学なぞなぞ
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
何年生で習う範囲ですか?
-
2次関数 y=ax2+bx+cのxを求め...
-
遊んでいそうな顔=イケメンモ...
-
エクセルでxを求めたいのですが!
-
円の方程式?円の関数じゃないの?
-
未知数の数と必要な方程式の数...
-
2次関数と2次方程式の違い
-
円柱と円の方程式
-
数学の3大分野、代数・幾何・解析
-
xの5乗=1 の答えを教えてく...
-
高2数学の質問です。 円の方程...
-
与えられた2数が和と積のとき...
-
数学IIの問題です。 kを定数と...
-
連立方程式の解が交点の座標と...
-
4点を通る曲線の方程式
-
数学の哲学で問われるテーマに...
-
3次、4次方程式は、具体的に何...
-
実数係数4次方程式の判別式
-
2x3行列の逆行列の公式
-
数学(軌跡) 写真の問題について...
おすすめ情報