中心角の定理

高2で学習する中心角の定理ですが、

「半径が同じ円上において、弧の長さが等しければ中心角も等しい。」

という定理の証明は　扇形の合同を言えばよいのでしょうか。
又、扇形が合同であるという証明はどのようにすればいいのでしょうか。（半径と弧が等しいことから明らかに合同ですが、三角形の合同とかはやたらと正確に答えさせるので、扇形だけ”明らかに”でいいのかと悩んでいます）

No.12 ベストアンサー 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/10/27 14:35

出かける前に。

やはり、＃７さんの言われる、原論のやり方が簡潔ですので、その方法の証明を書いておきます。

「半径と中心角の等しい二つの弧（または扇形）は同型である」
（証明）
一方の中心をＯとし、弧ＡＢとする。
もう一方の中心をＯ’とし、弧ＣＤとする。
まず、△ＯＡＢ≡△Ｏ’ＣＤ（二辺挟角）である。
そして∠ＡＯＢ内の任意の角ＡＯＰ（Ｐは弧ＡＢ上の点）に対して、
それと等しい∠ＣＯ’Ｄ内の角ＣＯ’Ｑ（Ｑは弧ＣＤ上の点）が一意にとれて、△ＯＡＰ≡△Ｏ’ＣＱである。
よって△ＯＡＢと△Ｏ’ＣＤをぴったりと重ねるとき、点Ｐと点Ｑも重なる。
∠ＡＯＰは∠ＡＯＢ内の任意の角であったから、△ＯＡＢと△Ｏ’ＣＤをぴったりと重ねるとき、弧ＡＢと弧ＣＤはぴったりと重なる。
∴弧ＡＢ≡弧ＣＤ
（証明終）

ここから、半径と中心角が等しい弧の長さは等しいことが分かりますが、
半径が等しくて中心角が等しくない場合、中心角が小さい方の弧は、中心角が大きい方の弧の一部と同型になりますから、
（中心角が小さいほうの弧の長さ）＜（中心角が大きい方の弧の長さ）となります。

よって「半径の等しい円において、弧の長さが等しければ中心角が等しい」という中心角の定理が言えます。

う～ん、簡潔で早い。＞＜
（僕も最初はこの方法を考えた（頭の片隅で知っていた）のですが、円そのものを扱ったほうが綺麗かなと・・・。綺麗は綺麗だが、簡明さで負けましたね。逆に深みにはまりました。失礼しましたm(＿)m）

ちなみに僕のやりかたでの（ｂ）の証明は、上の証明とほとんど同じ内容です。表現・構成はだいぶ違うが、最終的にやらねばならないことは同じです。

では、二・三日出かけます。またいつかどこかでお会いしましょう。(^o^)/~

No.15 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/11/08 08:35

＃１４の（２）の証明は、

（２）「等しい半径の円は合同」
の証明でなく、その基礎となる
＃８の（ｂ）「円を移動したものは、（中心の移動先を中心とする）等しい半径の円」
の証明でした。
失礼しました。

（１）は（ｂ）に含まれますし、（回転移動は移動の一種だから）
（２）は（ｂ）からすぐに出ますから、（ｂ）が根本です。

（ｂ）さえ示せば、円周角の定理はすぐ出るでしょう？
『等しい半径の円Ｏ,円Ｏ’があり、それぞれに同じ長さの弧ＡＢ,ＣＤがあったとき、ＯＡがＯ’Ｃに移るように円Ｏを移動すると、円Ｏは（ｂ）より、Ｏ’を中心とする同じ半径の円にうつるから、円Ｏ’とぴったり一致する。（ここで弧ＡＢの移り先と弧ＣＤとが半径Ｏ’Ｃに関して反対側にあっては困るので、必要なら反転して同じ側にあるように移しておく。）
すると、弧ＡＢと弧ＣＤの長さは等しいことから、二つの弧はぴったり一致する。よって（Ｂの移り先はＤとなり）∠ＡＯＢ＝∠ＣＯ’Ｄが言えた』

さて、（ｂ）の証明ですが、今までに二つ載せました。
＃１０（ユークリッドの方法に近い）と、＃１４（逆移動で元に戻すことを考えて、円が移動により「欠ける」ことがないことを示した）

もう一つ考えましたので、載せておきます。＃１０の書き換えです。少しでも分かりやすければ幸いです。

（証明）
移動により、点ＯはＯ’に移るとする。
すると円Ｏ上の任意の点Ｘに対し、ＸがＸ’に移るとすると、ＯＸ＝Ｏ’Ｘ’よりＸ’はＯ’を中心とする円Ｏと同じ半径の円上にある。
（この円を円Ｏ’とする）
つまり、円Ｏ上の任意の点の移り先は円Ｏ’上にある。
さてあとは、円Ｏ’全体に移ることを言えばいいのであるが、
まず、円Ｏ上の直径ＡＢをとり、Ａ,Ｂの移動先をそれぞれＡ’,Ｂ’とすると、ＡＯＢが直線より、Ａ’Ｏ’Ｂ’も直線となり、Ａ’Ｂ’は円Ｏ’の直径となる。
次に任意の角α（平角未満）に対し、
【まだ角度は定義されていないが、角度の言葉を使えば、０°＜α＜１８０°なる任意の角ということ】
円Ｏ’上の点Ｐで、∠Ａ’Ｏ’Ｐ＝∠αとなる点Ｐは、直径Ａ’Ｂ’をはさんで二個ある。
それをＰ１,Ｐ２とする。
一方円Ｏ上の点Ｑで、∠ＡＯＱ＝∠αとなる点Ｑも、直径ＡＢをはさんで二個あり、Ｑ１,Ｑ２とする。
すると、この移動により、Ｑ１,Ｑ２は、Ｐ１,Ｐ２のそれぞれ一方ずつに移る。
（丁寧に言うと、二辺とその間の角が等しいため、△ＯＡＱ１≡△ＯＡＱ２≡△Ｏ’Ａ’Ｐ１≡△Ｏ’Ａ’Ｐ２。よって△ＯＡＱ１は、△Ｏ’Ａ’Ｐ１と△Ｏ’Ａ’Ｐ２のどちらかに移り、例えば△Ｏ’Ａ’Ｐ１の方に移ったとすると、△ＯＡＱ２は△Ｏ’Ａ’Ｐ２に移る。もう一つの移り方も同様。）
よってＰ１,Ｐ２は移動先にある。
∠αは平角未満の任意の角であったから、円Ｏ’上の任意の点が、移動先にあることになる。
よって円Ｏの移り先は円Ｏ’である。
（証明終わり）

No.14 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/11/06 11:25

ん～、なんか分かりにくくなっているようですので、

＃４のコメントに対して、その方針での証明をします。
（これもコメントがついたときから書こうと思っていたのですが、どの証明を書くか、まよった末、留保していました。あなたの考え方に沿ったものですので、もしかしたら一番分かりやすいかも知れません）

＞ははぁー、なるほど。かなり勉強になりました。
確かに上記の(1)(2)が成り立てばOKそうです。

全く見当外れかもしれませんが一応考えてみました。
(1)　円というのはある1点Oから等距離にある点の集まりである。
　　　円周上に任意の点AとBを取った時、OA＝OB
　　つまり　円を回転させても元の円と一致する。
(2)　(1)とほぼ同じ考えでできないでしょうか？
　　　(1)が合っていればいいんですが（笑）

このあなたの考え方にそって、（１）（２）を証明します。

（１）円の中心をＯとし、もとの円をＰ、ＰをＯを中心にある角度αだけ回転した図形をＱとします。
さて、Ｐ上の任意の点Ａに対し、Ａの移り先をＢとすると、Ｏは動かないので、線分ＯＡは線分ＯＢに移ります。
よって（移動によって線分の長さは変わらないので）ＯＢ＝ＯＡ＝（円Ｐの半径）ですから、Ｂはもとの円Ｐ上にあります。
よってＰ上の点の移り先はすべてＰ上に来ますから、
Ｑ⊆Ｐ・・・（あ）
となります。
（※Ｑ⊆Ｐ・・ＱはＰと同じか、Ｐに含まれる。）
ここで注意しなければならないのは、まだＱ⊆Ｐが言えただけで、Ｑ＝Ｐを証明したわけではないことです。
次に、Ｐ上の任意の点Ｂに対して、ＢをＯの回りに、－α回転した点をＡとします。
すると先ほどと同様、ＯＡ＝ＯＢ＝（円Ｐの半径）となりますから、Ａはやはり円Ｐ上の点となります。
つまり、Ｂは円Ｐ上の点Ａの移り先となりますので、ＢはＱの点となります。
（つまり、Ｂに移ってくる円Ｐ上の点が必ずあるということを示したわけです）
よってＰ上の任意の点ＢはＱの点となることが分かりましたから、
Ｑ⊇Ｐ（ＱはＰと等しいか、Ｐを含む）・・・（い）
となります。
よって（あ）,（い）より、Ｑ＝Ｐとなります。（証明終わり）

（２）（上と同様の方針の証明もいろいろ考えられますが・・。結局、円の「全体または一部」となることは容易に示されますので、いかに円「全体」に移ることを証明するか、が鍵になります）
（ａ）「円を移動したものは、中心の移動先の点を中心とする、同じ半径の円または、その一部となる」
（ｂ）「円の一部（全部ではない）を移動したものは、また円の一部（全部ではない）となる」
の二つを示します。（簡単です）
（ａ）もとの円の中心をＯ、Ｏの移動先をＯ’とする。
もとの円Ｏ上の任意の点Ａに対し、その移り先をＡ’とすると、
ＯＡ＝Ｏ’Ａ’より、Ａ’はＯ’を中心とする半径ＯＡの円上にある。
よって円Ｏの移り先は、Ｏ’を中心とする半径ＯＡの円に含まれる。
（証明終わり）
（ｂ）もとの図形を円Ｏの一部（全部ではない）とし、円Ｏ上の欠けている点をＡとする。
Ｏの移り先をＯ’とすると、（ａ）より円Ｏの一部の移り先はやはり円Ｏ’（Ｏ’を中心とする円Ｏと同じ半径の円）に含まれますが、
特にＡの移り先（Ａを含めて移動したときの移動先）Ａ’は（円Ｏ’上の点ですが）欠けますので、円Ｏ’の全部とはならず、一部となります。（証明終わり）
次に（ａ）（ｂ）をつかって、（２）を示します。
もしも円Ｏを移動した図形が円Ｏ’の一部（全部ではなかった）とすると、その図形を、円Ｏを移動してきたのと逆の移動により元に戻すと、戻ってきた図形は（ｂ）より円Ｏの一部（全部ではない）となってしまい、元の円Ｏと合同で無くなるので矛盾である。よって円Ｏの移り先は円Ｏ’全体となる。（証明終わり）

これが分かりやすければ幸いです。いろんな証明をしてしまってごめんなさいね。どれか一つが分かればＯＫです。

No.13 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/11/05 19:02

誰かまとめてくれるか、質問者のコメントが出ることを待っていましたが、何もないので少し補足すると、

初等幾何の大前提は、
Ａ「移動により図形の大きさと形は変わらない」
です。
※ここでの「移動」は、平面幾何の場合、平行・回転・対称か、それらを続けて行ったものと同じになることが証明されます。

だから、
Ｂ「円を移動したものは、等しい半径の円である」
ことは、Ａより自明と思えば、既に示したように、中心角の定理はほぼ自明です。
（円の中心を中心として回転しても不変（ぴったり重なる）ですから、弧の長さが等しければ弧は合同になる）

ただ、初等幾何はユークリッドさんが「原論」で厳密に構成したわけですが、そこではＡはより正確には
Ａ’「移動により長さと角は変わらない」
つまり、「移動により、任意の線分は同じ長さの線分に、任意の角は同じ大きさの角に移る」
と表現されます。

ですから、直感的なＡからはＢは自明と思えますが、「大きさ」を線分の長さ、「形」を直線が直線に移ることと角の大きさ、
に限定し、厳密に表現したＡ’からは、Ｂは自明とは言いがたいわけです。
それで＃１２（または＃１１）のような証明が必要になるわけです。
そういう立場を理解した上で＃１２（やその他）の証明を読んでもらうと、やっていることが分かりやすいかと思います。

勿論、ユークリッド式にこだわらなければ、それを少し緩めた、Ａを公理としてＢは自明と考える立場もアリだと思います。
（というより、ほとんどの中学生・高校生・数学教師はこちらでしょう。教科書はユークリッド式を土台としているのですが、そこまで厳密に教えることは要求されていません。）

No.11 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/10/27 12:58

＃１０です。

僕の中でもあまり整理されていなかったので、長くなって（もしかすると回りくどくなって）済みませんでした。
原論も参考にしてください。そちらの方が簡潔で分かりやすいかも知れません。
お役に立てれば幸いです。しばらく留守します。

No.10 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/10/27 12:49

（ｂ）の証明です。

円Ｏを合同変換により移動し、その図形をＺとする。
Ｏを端点とする垂直な二つの半直線をひき、円Ｏとの交点をＡ，Ｂとする。（こういうＡ，Ｂが一つずつ存在することは円の定義からいいでしょう）
さて、Ｏ，Ａ，Ｂの行き先をそれぞれＯ’，Ａ’，Ｂ’とします。
変換が長さと角を保つことから、Ｏ’Ａ’＝Ｏ’Ｂ’＝ＯＡ，Ｏ’Ａ’⊥Ｏ’Ｂ’です。
ここで、Ｏを端点とする任意の半直線ＯＸをひきます。（Ｘは遠くの点）
そして、点Ｏ’を端点とする半直線Ｏ’Ｙを、∠Ａ’Ｏ’Ｙ＝∠ＡＯＸ，∠Ｂ’Ｏ’Ｙ＝∠ＢＯＸとなるようにひきます。このようなＯ’Ｙは唯一つひくことができます。
すると、この変換により、半直線ＯＸは半直線Ｏ’Ｙに移ります。（角と長さを保つことから）
よって、半直線ＯＸ上にある円Ｏ上の点Ｐは、半直線Ｏ’Ｙ上のＯ’Ｐ’＝ＯＡとなる点Ｐ’に移ります。
半直線ＯＸはＯを端点とする任意の直線でしたから、ＯＸを任意に変えることにより、ＯＹも任意に変わり、円Ｏを移した図形Ｚは、Ｏ’を中心とする円Ｏと等しい半径の円になることが分かります。（証明終）

以上です。三角形の合同条件は、使いませんでした。使ってもよかったのですが。ユークリッド式なら、使うと思います。（本質的に同じです）^^

No.9 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/10/27 12:41

＃５です。

確かに私の記述は厳密性を欠いているかもしれないので、一応無視してください。他の方が十分に述べられているので、これ以上は発言を遠慮します。

No.8 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/10/27 12:09

＃４、＃６です。

＞(1)　円というのはある1点Oから等距離にある点の集まりである。
　　　円周上に任意の点AとBを取った時、OA＝OB
　　つまり　円を回転させても元の円と一致する。
(2)　(1)とほぼ同じ考えでできないでしょうか？
　　　(1)が合っていればいいんですが（笑）

直観的にはほぼそんな感じですが、証明としてはもう少しキチンと述べる必要があります。
種々の方法が考えられますが・・。

まず、ちょっと確認をさせて下さい。

「図形は、長さと角度を保ったまま、ズリズリと？移動したり、ひっくり返したりすることが出来る」
というのが、初等幾何の大前提です。

こういう移動の正体は、まずは不明ですが、こういう移動のことをひとまず「合同変換」と呼びます。
そして、ある合同変換によりぴったり重なる二つの図形を、合同と呼びます。
そしてまず最初に、三角形の合同条件を、上の大前提を用いて証明します。
次に、平行移動・回転移動・線対称移動（折り返し）が合同変換になることを、三角形の合同条件を用いて証明します。
最後に、任意の合同変換は、上の三種類の移動の合成で表せることを証明します。
これで「合同変換」の正体が明らかになりました。

ここまでの知識は「中心角の定理」を用いていませんから、「中心角の定理」の証明に用いて良いことが分かります。

さて、
（ａ）同じ点を中心とする、等しい半径の円（円周）は、唯一つである。
（ｂ）円を合同変換で移した図形は、（中心の移動先の点を中心とする、もとの円と等しい半径の）円である。

（ａ）は自明ですね。
（ｂ）はこんど証明します。

これを用いると、
(2)
半径の等しい二つの円１と円２があるとき、円２の中心が円１の中心と一致するように（合同変換で）移動する。この図形は上の（ｂ）より円である。これを円３とする。
円１・円３は同じ中心をもち、等しい半径の円だから、（ａ）より一致する。
（合同変換で）移動して一致するので、円１と円２は合同である。

(1)（この前の証明に、使ってませんが）
円１をその中心Ｏの回りに回転移動させた図形は、（ｂ）より中心Ｏ，円１と同じ半径の円である。よって（ａ）よりこの円は円１と一致する。
（証明終）


ですから本質は（ｂ）ですね。
これは直観的にはほとんど自明だけれども、円が曲線であることから、
少しめんどいです。やることは単純で、三角形の合同条件を使うのですが・・。

書いてみたらかなり長くなったので、改めて書きます。

えーと、
＃７、僕も原論を見たかったのですが、いま手元になかったので・・。
なるほど、そういう構成ですか、僕は円のまま扱い、ユークリッドさんは弧で扱ってますね。好き好きでしょうが。

一番大事な部分を先延ばしにして済みません。

No.7 回答者： ringouri 回答日時： 2007/10/27 01:21

ユークリッド『原論』ではどう説明しているのか気になって調べたら（第三冊）、

「等しい長さの弦に対する中心角は等しい」から始めていました。（これは三角形の合同条件から容易に証明できます。）
それから「ある弦に対する弧は一つしかない」、「等しい長さの弦に対する弧の長さは等しい」、「等しい弧の長さに対する弦は等しい」、よって、「弧の長さが等しければ中心角も等しい」という論理展開をしています。

くどくど説明してある割には説得力があるとは思えません。No.4さんの指摘しておられる通り、かなり直観的な把握が含まれており、その部分に無理矢理説明を付けた感じで、それほど厳密な論証にはなっていない印象を受けました。

あらためて、『原論』の記述をチェックする機会が出来ました。
とても良い質問でしたね。感謝。

No.6 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/10/26 12:31

＃４です。

一言補足します。

初等幾何的には、中心角の定理を証明して、それから「角度」を定義するのが本来の流れですが、実際の教育カリキュラムでは、そんなことはしません。
小学生で、さっさと分度器を使って「角度」を習います。
それは、「中心角の定理」は小学生にも直観的に明らかだからだし、その方が実用的で、理解も早いからです。
（分度器を使っているうちに、「中心角の定理が当たり前」と言う感覚が、より身についてくるのかも知れない）

ですから、中学（今は高校か？）で中心角の定理が出てきたときも、
「当たり前」として証明はしません。
いったん「角度」の概念を白紙にして、証明しようとすると、多くの人が混乱するからでしょう。
（僕もそうでしたがほとんどの生徒は、弧の長さ＝円周の長さ×角度／３６０、だから当然成り立つな、と一人納得しているのだろうと思います。循環論法なので本当の証明にはなりませんが、そう理解させておくのが、多くの生徒にとっては一番いいのでしょう）

今の教育カリキュラムでは、中心角の「公理」として、直観的に明らかなことだから証明抜きで認めましょう、と言った方が、いさぎよくて、実際のカリキュラムにも合い、良いのかも知れません。

しかし、やはり証明できることですし、伝統的な初等幾何を尊重する立場からも、やはり、中心角の定理、として残っていくでしょうね。

基本的なところを突っ込まれて、僕も勉強になりました。