No.1
- 回答日時:
lim[m→+∞]f(x)の例として、sin(x)が考えられますが、任意の実数xに対して常に有限です。
条件が不足していませんか?
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4% …
この回答へのお礼
お礼日時:2007/11/05 06:09
早速のレス有難うございます。
sin(x)は多項式ではないですよね。
「中間値の定理を使って,奇次数多項式は少なくとも一つ0の実数値を持つ」
を証明しています。
奇次数多項式のグラフは左右に広げていくと次第に片方は正の無限大,他方は負の無限大になりますよね。
それで今回の質問を致しました。
No.2
- 回答日時:
厳密ではありませんが,
∃X0∈R x>X0 → |x^(2m-1)|>|x^k| ∀k∈{0,1,・・・,2m-2}
なので,x→∞のときは最高次の次数の挙動で決まってしまいます.
要するに2m-1次項のみを考えればいいことになります.
掛かっている定数は正負の符号のみを決めているのですから,結局
x^2m-1 x→±∞でどうなっているかを議論すればいいことになります.
x→∞ x^2m-1→∞ であり,x→-∞ x^2m-1→-∞
なので,結局題意が満たされたことになります.
No.3
- 回答日時:
sin(x)は多項式ではありませんが
f(x)=x-1/3!x^3+1/5!x^5-1/7!x^7+....
は奇数乗項だけの多項式です。
この関数の収束先は
+無限大ですか、
-無限大ですか
No.5
- 回答日時:
#1です。
お礼をありがとうございます。
質問の趣旨から、m→-∞はx→-∞、m→+∞はx→+∞の誤記だと解釈しました。
それでしたら、多項式f(x)を
f(x)=Σ[i=0..2m-1]a(i)x^i
=a(2m-1)x^(2m-1) Σ[i=0..2m-1] a(i)/a(2m-1) x^{i-(2m-1)}
と変形すると、x→±∞でΣの中身は1ですから、
lim[x→±∞]f(x)=±∞ (a(2m-1)>0のとき) (複号同順)
lim[x→±∞]f(x)=±∞ (a(2m-1)<0のとき) (右辺の複号を反転して同順)
と示せます。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
簡単な実例で示すと、たとえば、f(x)=3x^3+2x^2+x+1のとき、
f(x)=3x^3(1+2/3x+1/3x^2+1/3x^3)
と最高次の項でくくれば、
x→∞のとき、3x^3→∞、カッコの中→1なので、f(x)→∞、
x→-∞のとき、3x^3→-∞、カッコの中→1なので、f(x)→-∞
となる。
最高次の係数がマイナスのときは、無限大の符号が逆になり、
f(x)を一般的な記号で書いたときも、同じように最高次の項で
くくって考えれば、証明を書くのは簡単でしょう。
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