無限大と無限小のかけ算と割り算について教えてください。

無限大と無限小の計算はいろんな考え方があるのは解りましたが、次の場合はどうなるんですか？
無限の体積を、無限の個数に分け多場合の１個の体積はどうなるかと言う意味で無限大を無限大で割った場合。僕は無限小になるような気がしますが。
また無限小の体積を持つものを無限に集めた場合どうなるかという意味で、無限小に無限大をかけたらどうなりますか？僕は無限大になるような気がします。
これは無限大の空間を無限小の点の集まりと見なすことが出来るかと言うことです。教えてください。

No.2 回答者： BookerL 回答日時： 2007/11/19 10:16

　「無限大」という量があるわけではありません。

ですから単純に「無限大÷無限大」や「無限小×無限大」がどうなるかといっても、答はありません。

　「無限小×無限大」の例を取ります。
　一辺１０ｃｍの立方体を考えます。体積は １００cm3 です。
　これを薄く１０等分すると、一つの体積は １０ｃｍ3 になり、これを１０個集めると全体の体積は　１０cm3 × １０　で、やはり １００cm3 です。

　１００等分すると 一つの体積は １cm3 で、これを１００個集めると １cm3 × １００ ＝ １００cm3

　これを一般化して、ｎ等分すると一つの体積は １００/ｎ cm3 で、これをｎ個集めると １００/ｎ × ｎ ＝ １００cm3

　このｎをどんどん大きくしていくと １００/ｎ はどんどん小さくなりますが、かけたものはかならず １００cm3 です。
　ｎを極限までおおきくすると、この計算は「無限小×無限大」という感じになりますが、かけたものは １００cm3 のままです。
　この場合は「無限小×無限大 が１００」という結論になりましたが、あくまで「この場合」です。

　このような無限は、数学の「解析学」で扱います。微分や積分は「無限小÷無限小」や「無限小×無限大」をどうすればきちんとあつあけるか、という問題からでてきた分野です。

No.1 回答者： N64 回答日時： 2007/11/19 06:16

そのように考えていると、どうどうめぐりというか、なにがなんだかわからなくなりませんか？数学では、無限を直接扱うと、矛盾に陥るので、そうしないように工夫していると、ここで教わったことがあります。

キーワード　無限　で、過去のＱ＆Ａを、検索してみると、ほんとにたくさん出てきますよ。