A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
No2です。
申し訳ないでした。。
No3の方の解法を参考にしてください。
ちょっと、思いついたので一応書いておきます。
黄金比というのは知ってますか?
No3の方が導かれた(3)の式です。
AB:BE=1:(1+√5)/2。
(No3の方の設定A,B・・をそのまま使いますが)
AからO の直線をそのままのばして、円と交わる点をMと
すれば、△BO Mは∠BO M=108°でBO =MO という
ことから、△ABEとは相似の関係になります。
よって、さっきの黄金比から
O B:BM=1:(1+√5)/2
O B=10なので、BM=5(1+√5)となります。
一方、△ABMは∠ABM=90°(直径の弧に対する円周角)
で、AM=20、BM=5(1+√5)なので、三平方の定理から
AB^2=20^2-{5(1+√5)}^2
=400-25(6+2√5)
=250-50√5
=25(10-2√5)
∴AB=5√(10-2√5) となります。
もし、sin36°というのがわかれば単純に、AB=(10sin36°)×2
なのですが・・・(円の中心O からABに垂線O Nを引けば、
△AO NがAO =10、∠AO N=36°なので。)
No.3
- 回答日時:
余弦定理が分からないとなると、サイン・コサインの類もダメですよね?
複素数でやるやり方もありますが、たぶん、それもダメですよね...
(五次方程式の解に帰着できるのですが)
正五角形の頂点をABCDEとし、ACとBEの交点をFとおくと、
EA=EF(ΔEAFが二等辺三角形)
BF=AF(ΔBAFも二等辺三角形)
また、ΔBAF∽ΔBEAより
BA:BE=BF:BA
よって、BA^2=BE・BF (1)
ここで、
BE・BF=BE・(BE-EF)=BE・(BE-AE)=BE・(BE-AB) (2)
(1)(2)より
BA^2=BE・(BE-AB)
よって、BE={(√5+1)/2}・AB (3)
BEとOA(Oは円の中心)の交点をHとします。
BH=BE/2
三平方の定理より、
AH^2=AB^2-BH^2=AB^2-{(√5+1)/4}^2・AB^2
AH={√(10-2√5)}/4}・AB (4)
OH=10-AH
OH^2+BH^2=10^2(三平方の定理)
より、(10-AH)^2+BH^2=100
100-20AH+AH^2+BH^2=100
AB^2=20AH (5)
(4)、(5)より
AB^2=5√(10-2√5)・AB
AB≠0
なので
AB=5√(10-2√5)
結構、しんどいですね。
5√(10-2√5)=11.75570...こんな感じになるはずです。
計算は確認してください。
No.2
- 回答日時:
円周上の5等分点のうち、となり合う2点A,Bと円の
中心Oでできる△OABは、OA=OB=10cm、∠O=72°
の二等辺三角形です。すると、余弦定理から
AB^2=10^2+10^2-2×10×10×cos72°
が成り立ちます。
電卓では、cos72°=0.30901699437494742410229341718282・・
なので、
AB^2=200-61.8033988749894848204586834364・・
=138.1966011250105151795413165636・・
∴AB=11.755705045849462583374119092788・・
と計算できます。
No.1
- 回答日時:
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