No.1
- 回答日時:
>フーリエ変換したら sin(ax)/ax となったのですが、
となりませんね。
なぜフーリエ変換したのに,変換後の式にxが現れるのだろうね。
しっかりして下さい。
ちゃんとフーリエ変換すれば、逆変換もできるはず。
質問するには、質問者さんの解答の式変形や逆変換の定義式などを
ちゃんと書いて質問して下さい。
この回答への補足
すいません・・・関数がごっちゃになってました・・・
f(x)=1/2a(|x|<a) , 0(|x|>a) をフーリエ変換したら
F(ω)=sin(aω)/((aω) でした。
それを逆変換の公式にあてはめると
1/2π{∫[-∞,+∞][ F(ω)*exp(iωx) ]dω}となると思うのですが
sin(aω)/(aω)*exp(iωx)の積分の仕方がわかりませんでした。
間違ってると思いますが、色々な方法で計算してみて、
sin(aω)を{exp(iaω)-exp(iaω)}/2i の形にしてまとめると
1/4πai{∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/ω - exp(-i(a-x)ω)/ω ]dω}
としてみましたが、積分ができませんでした・・・何か解き方があれば教えてください。
No.2
- 回答日時:
>{1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/ω - exp(-i(a-x)ω)/ω ]dω
=g1(x)+g2(x)=f(x)と置くと
g1(x)={1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/ω]dω
={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)/(iω)]dω
g1'(x)={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞][ exp(i(a+x)ω)]dω
={1/(2a)}{1/(2π)}∫[-∞,+∞] {exp(iaω)}{exp(ixω)]dω
={1/(2a)} L^(-1){1}|(x=x+a)
={1/(2a)}δ(x+a), δ(x)はディラックのデルタ関数(参考URL)。
g1(x)=∫{1/(2a)}δ(x+a)dx={1/(2a)}u(x+a)+C1
同様に
g2(x)={1/(4πai)}∫[-∞,+∞][ exp(i(-a+x)ω)/ω]dω
={1/(2a)}u(x-a)+C2
f(x)={1/(2a)}{u(x+a)-u(x-a)}+C (C=C1+C2)
f(-∞)=0とすれば、 C=0
∴f(x)={1/(2a)}{u(x+a)-u(x-a)},u(x)はユニットステップ関数。
これはもとのf(t)と同じです。
計算の仕方は、フーリエ変換の公式をよく調べてじっくり考えて
自分でお考え下さい。
参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function
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