[問]d/dt:Pn(R)→Pn(R)の固有多項式,固有値,幾何学的重複度,代数的重複度を求めよ

[問]d/dt:Pn(R)→Pn(R)の固有多項式,固有値,幾何学的重複度,代数的重複度を求めよ。
[解]
d/dt(Σ[i=0..n]a(i)x^i)=Σ[i=1..n]a(i)nx^(i-1)となるのでこの線形写像(Dとする)の表現行列は
0,1,0,……,0
0,0,2,0,…,0
：：：：：：
0,0,0,0,0,n
0,0,0,0,0,0
という(n+1)×(n+1)行列になります。
固有多項式はdet(D-λE)(Eは単位行列)と書けるので
λ,1,0,……,0
0,λ,2,0,…,0
：：：：：：
0,0,0,0,λ,n
0,0,0,0,0,λ
の行列式ですがこれからどのようにしてこの行列式を展開できますでしょうか?行列式の定義から
対角成分とそのひと上隣りの対角成分からn+1個の成分の積が各項になりますよね。
ちょっと複雑。。。
どのようにして展開してけばいいのでしょうか?
知恵をお授け下さい。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/02/09 08:37

Pn(R) が何か、その基底はどうするか、くらいは説明した方がよい。

>行列式ですがこれからどのようにしてこの行列式を展開できますでしょうか?
普段行列式を計算する時と同じ。

>ちょっと複雑。。。
>どのようにして展開してけばいいのでしょうか?
ということは「自分で計算してみる」ことをしていませんね？紙に書けばすぐわかる。

この回答へのお礼

> Pn(R) が何か、

失礼致しました。係数&定数項が実数の高々n次多項式全体の集合です。　


> その基底はどうするか、くらいは説明した方がよい。

基底ですか。
{x^n,x^(n-1),…,x^2,x,1}とすればよいかと思います。


>>行列式ですがこれからどのようにしてこの行列式を
> 展開できますでしょうか?
> 普段行列式を計算する時と同じ。
>>ちょっと複雑。。。
>>どのようにして展開してけばいいのでしょうか?
> ということは「自分で計算してみる」ことをしていませんね？
> 紙に書けばすぐわかる。

λ^(n+1)+λ^nΣ[i=1..n]i+λ^(n-1)Σ[i,j∈{1,2,…,n}i<j]ij+λ^(n-2)Σ[i,j,k∈{1,2,…,n}i<j<k]ijk+…+Π[i=1..n]i

ですね。

あっこれからλ(λ+1)(λ+2)…(λ+n)で固有値はλ=0,1,2,…,nなのですね。
代数的重複度はいずれも1ですね。

最後に幾何学的重複度ですが先ず0の固有空間S(0)を求めてみます。
dimS(0)=n+1-rank(D-0E)=1
S(1)を求めてみます。
dimS(1)=n+1-rank(D-1E)=0
以下
dimS(2)=n+1-rank(D-2E)=0
：
dimS(n)=n+1-rank(D-nE)=0

で
幾何学的重複度は固有値が0の時は1でそれ以外は0なのですね。

ありがとうございます。これでいいのですね。

お礼日時：2008/02/09 10:58

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/02/09 10:59

そうですねえ。

。あきらかに計算してませんね

どうして一般の n で分からなかったら，簡単なケース
例えば，n=0,1,2,3くらいで計算してみよう
という発想にならないのでしょうか？
うまくいけば帰納法の枠組みに入るかとか見えてくるものです．

この回答へのお礼

有難うございます。

> どうして一般の n で分からなかったら，簡単なケース
> 例えば，n=0,1,2,3くらいで計算してみよう
> という発想にならないのでしょうか？
> うまくいけば帰納法の枠組みに入るかとか見えてくるものです．

3次正方行列の場合
λ^3

4次正方行列の場合
λ^4

でした。
という事は
n+1次正方行列の場合
λ^(n+1)という事ですね。

、、、という事でdet(D-λE)=0を解くとλ=0(代数的重複度n+1)

次に幾何学的重複度を求めてみます。
dimS(0)=n+1-rank(D-0E)=n+1-n=1
よって幾何学的重複度は1

ですね。

お礼日時：2008/02/09 23:58