(5x+2)^2-(3x-4)^2の因数分解がわからない

タイトルの式に限らず、この形の式の因数分解がわかりません。
(3x+2)^2-(2x+1)^2=(5x+3)(x+1)　　と、なるのはわかるんですが
(5x+2)^2-(3x-4)^2=4(4x-1)(x+3)　　←は全くわからないんです……。

解答だけ見ても答えを出すまでの順序が想像できませんでした。(カッコの前の"4"はどこから括り出してきたんでしょう？)

この形の式の因数分解を解く手順を教えてください。宜しくお願いします。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2008/05/29 23:25

こんばんは。

１個目のやり方と同じですよ。

(5x+2)^2-(3x-4)^2 = (5x+2+3x-4)(5x+2-3x+4) = (8x-2)(2x+6)
ここまではわかりますよね？

ここで、
8x-2 = 2(4x-1)
2x+6 = 2(x+3)
ですので
（以下、略）

No.2 回答者： Aronse 回答日時： 2008/05/29 23:29

かっこの中身をAとかBとか置きます。

最初の例だとA=3x+2, B=2x+1と置くことにします。
すると、
（与式）= A^2-B^2
となるので、因数分解して(A+B)(A-B)
元に戻して（A,Bを使わない形に戻す）
(3x+2+2x+1)(3x+2-2x-1)=(5x+3)(x+1)
となるわけです。

次の例も同じようにA=5x+2, B=3x-4と置くことにします。
すると、
（与式）= A^2-B^2
となるので、因数分解して(A+B)(A-B)
元に戻して（A,Bを使わない形に戻す）
(5x+2+3x-4)(5x+2-3x+4)=(8x-2)(2x+6)
それぞれのかっこで2が前に出てきて
=4(4x-1)(x+3)
となります。説明したところと分からないところが違ってるかもしれませんが、流れはこのようになりますので、もう一度考えてみてください。

No.3 回答者： Go-RUNWAY 回答日時： 2008/05/29 23:41

(5x+2)2乗-(3x-4)2乗の式だという解釈でよろしいでしょうか？

(5x+2)をA、(3x-4)をBと置くと、
A2乗-B2乗となりますよね。
A2乗-B2乗となるためには
A2乗-B2乗＝(A+B)(A-B)
という式なりますね。
ここでAとBに各式を代入すると
{(5x+2)+(3x-4)}{(5x+2)-(3x-4)}ですね。
これをまとめると
{8x-2}{2x+6}となります。
おそらくここまではお分かりなのでは？

さて、ここからですがよく式をみてください！！
何かが隠れているように見えてきませんか？

実は各式とも2で括れるのですよ。
{2(4x-1)}{2(x+3)}とね。
これをまとめてやると
4(4x-1)(x+3)という答えになります。
お分かりなったでしょうか？