Σｒ（1-r)^(n-1)=1となるｒが解けません

どうしても解けなくて困っています。

Σ（k=1から5）a(1-a)^(n-1)・・・（ｎ-1）乗と書いたつもり
＝１となるようなaを求める問題です。

Σ[k=1からnまで] r^(k-1) = (r^n-1)/(r-1)

に当てはめて考えるとｒ＝a(1-a)として計算していけばよいとは思うのですが、実際計算していると答えが出てきません。

もしかして、根本的にとき方に問題があるのでしょうか?
どうか、わかる方がいたら教えてください。

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/07/03 20:33

　Σ（k=1から5）a(1-a)^(n-1)

　= a*{1 + (1-a) + (1-a)^2 + (1-a)^3 + (1-a)^4}
という展開で良いのでしょうか？

これだと、(1-a)^5 = 0 になってしまいますけど..... 。
　

No.2 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/07/03 20:44

＞　Σ（k=1から5）a(1-a)^(n-1)・・・（ｎ-1）乗と書いたつもり

kについて和を取るといいながら、式にkが現れないのはなぜ？
Σ(k=1から5) a(1-a)^(n-1) = 5a(1-a)^(n-1) になりますが。

Σ(n=1から5) a(1-a)^(n-1)
の間違いですか？

＞　に当てはめて考えるとｒ＝a(1-a)
a(1-a)^(n-1) の (n-1)乗というのは { a (1 - a) }の(n-1)乗なんですか？
もし、(1 - a) の (n - 1)乗ならば、初項が a 、公比は (1-a) でしょう。だとすれば、
Σ(n=1から5) a(1-a)^(n-1)
= a { (1 - a)^5 - 1 } / { (1 - a) - 1}
= 1 - (1 - a)^5

1 - (1 - a)^5 = 1　を解けば
(1 - a)^5 = 0
a = 1

初項しかないですねえ。これでも確かに条件は満たしますが。

この回答への補足

>Σ(n=1から5) a(1-a)^(n-1)の間違いですか？

すみません。
ｋ＝1から5じゃなくてn=1から5の間違いです。

>a(1-a)^(n-1) の (n-1)乗というのは { a (1 - a) }の(n-1)乗なんですか？

a×（1-a）^(n-1)⇒(n-1)乗は（1-a）にだけかかります。



Σ（n=1から5）a×（1-a）^(n-1) = 1
となるaをとくということでした。

補足日時：2008/07/04 07:56

No.3 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/07/04 22:44

＞　a×（1-a）^(n-1)⇒(n-1)乗は（1-a）にだけかかります。

＞ Σ（n=1から5）a×（1-a）^(n-1) = 1
＞ となるaをとくということでした。

それではやはり、初項が a 、公比 (1 - a) の公比数列の和が 1 になるようにすればいいのですね。
初項 a　、公比 r の公比数列の初項からn項までの和 Sn は、
Sn = a (r^n - 1) / (r - 1)
ですね。
これにそのまま初項 a 、公比 r = 1-a , n = 5 を代入すれば、
S5 = a {(1 - a)^5 - 1} / {(1-a) - 1 }
　　= 1 - (1 - a)^5
あとは S5 = 1 となるように a を求めれば a = 1 ってことでしょう。#2 で答えたとおりなんですけど、ちゃんと分かったんですか？

この回答への補足

a＝１だとすると
Σ(n=１から５)　1×(１－１)^(n-1)ということですよね。

そうなるのでa=1ではないと思って答えが出ないと考えていたんですが・・・

補足日時：2008/07/06 18:45

No.4 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/07/06 21:36

＞　a＝１だとすると

＞　Σ(n=１から５)　1×(１－１)^(n-1)ということですよね。
その通りです。
Σ(n=１から５)　1×(１－１)^(n-1)
= 1×0^0 + 1×0^1 + 1×0^3 + 1×0^3 + 1×0^4
= 1
0^0 = 1 とするのは議論があるところなのですが、一般的には 0^0 = 1 として良いと思います。
「0の0乗」で検索してみると、いろいろ出てきます。

または、
Σ(n=1 ～ 5) a (1 - a)^(n-1) = 1
a + a(1 - a) + a(1 - a)^2 + a(1 - a)^3 + a(1 - a)^4 = 1
-1 + a + a(1 - a) + a(1 - a)^2 + a(1 - a)^3 + a(1 - a)^4 = 0
左辺を因数分解すると、
- (1 - a)^5 = 0
∴ a = 1