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- 回答日時:
(1) cos sin の係数と複素数の関係
f(t)=Acosωt+Bsinωt
に 複素表現、
e^(iωt)=cosωt+isinωt
e^(-iωt)=cosωt-isinωt
を逆にといた
cosωt={e^(iωt)+e^(-iωt)}/2
sinωt={e^(iωt)-e^(-iωt)}/(2i)=-i{e^(iωt)-e^(-iωt)}/2
を代入して整理すれば、
f(t)=(A-iB)/2 e^(iωt)+(A+iB)/2 e^(-iωt)
となる。右辺の第2項は第1項の複素共役なので
第1項だけわかれば第2項は共役をとることですぐにわかる。
f(t)=(C+Di)e^(iωt)+(C+Di)e^(-iωt)
(2)
エクセルのフーリエ級数で出てくる値は、複素成分
(C+Di)e^(iωt)
の係数を要素数=N倍したもの。
要素数32の場合、たとえば
1+cos(2π/32t)+cos(2π/32t)+cos(2π×2/32t)+cos(2π×2/32t)
でt=0,1,2....,31
でデータをつくりエクセルのフーリエ解析ツールで解析すれば、
32
16-16i
16-16i
データ数32で割れば、
1、1/2-1/2i 1/2-1/2i
なお、FFTでは意味があるのは、16項までで
後半は対称(複素共役)になっている
cos,sinの係数にするには、(AがFFTの結果データ数が32なら)
A:実部Cの2倍=2C =IMREAL(A1)/32*2
B:虚部Dの2倍のマイナス=-2D =-IMAGINARY(A1)/32*2
(3)時間軸=スペクトルでの周波数 は適当に計算する
時間間隔δt で(N-1)δtまで N個のデータを取った場合。
[最大周期T=Nδt 最小振動数 1/T Hz]
f(t)=Acosωt+Bsinωt
ω=2πn/T n=0,1,2...,N
N=128 など
nのときのスペクトルの周波数は、n/T
なお、
大きさは、√{A^2+B^2}
で、
(C+Di)e^(iωt)+(C-Di)e^(-iωt)
の大きさは、(√{A^2+B^2}=)2√{C^2+D^2}
AがFFTの結果データ数が32なら)
=IMABS(A1)/32×2
位相は、atan(-D/C)×180/π
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