三角関数

単位円周上の３点
Ｐ（cosθ、sinθ）　Ｑ（cos2θ、sin2θ）　Ｒ（cos4θ、sin4θ）
を考える。0≦θ≦2πとするとき、
ＰＱ＾２＋ＱＲ＾２がとる値の範囲を求めよ

この問題に手も足も出ません・・・
まずＰＱ＾２とＱＲ＾２をそれぞれ計算することから始めたのですがごちゃごちゃになって途中でわからなくなってしまいました。
倍角の公式を使ったりいろいろ試してみたんですがやはりわかりません。

よろしくおねがいいたします

No.1 ベストアンサー 回答者： syouji_08 回答日時： 2007/06/07 19:46

PQ^2 = (cosθ-cos2θ)^2 + (sinθ-sin2θ)^2

=(cosθ)^2-2cosθcos2θ+(cos2θ)^2+(sinθ)^2-2sinθsin2θ + (sin2θ)^2
=2 - 2(cosθcos2θ + sinθsin2θ)

ここで、加法定理により、
cosθcos2θ+sinθsin2θ=cos(θ-2θ) = cos(-θ) = cos(θ)
となるので

PQ^2=2-2cosθ

QR^2 = (cos2θ-cos4θ)^2 + (sin2θ-sin4θ)^2
=(cos2θ)^2-2cos2θcos4θ+(cos4θ)^2+(sin2θ)^2-2sin2θsin4θ+(sin2θ)^2
=2-2(cos2θcos4θ+sin2θsin4θ)

ここで、加法定理により、

cos2θcos4θ+sin2θsin4θ=cos(2θ-4θ) = cos(-2θ) = cos(2θ)

QR^2=2-2(cos2θ)

以上により、
PQ^2 +QR^2 = 2-2cosθ + 2-2cos2θ
=4-2cosθ+2cos2θとなります。

後は、cos2θ = 2(cosθ)^2 - 1より、
PQ^2+QR^2=4-2cosθ+2(2(cosθ)^2-1)
PQ^2+QR^2=2 + 2cosθ + 4(cosθ)^2

となるので、後は分かりますね…。

No.2 回答者： velvet-rope 回答日時： 2007/06/07 20:13

余弦定理を使えば

　PQ^2=2-2cosθ
　QR^2=2-2cos2θ
はすぐに求まりますよね。だから、PQ^2とQR^2も求まります。

あとは、cos2θをcosθの式に直して範囲を求めればいいです。