三角関数

問題　三角形ABCにおいて等式cosA+cosB-cosC=4cos(A/2)・cos
(B/2)・sin(c/2)-1が成立することを証明せよ。
自分の答案
　　　C=180-(A+B)より、cosC=-cos(A+B)・・・(1)
また、cosA+cosB=2cos(A+B/2)・cos(A-B/2)
ここまでは、来たのですが(1)をどのように処理すれば証明できるのでしょうか?できるだけ詳しく計算過程を書いて教えてください。また、どうして、その解法が浮かんだのかも書けるだけ書いてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： fukuda-h 回答日時： 2008/05/24 17:28

第一印象は、公式をいっぱい使うような変形ですね。

左辺は和で右辺が積になっているので和積の公式を使うんでしょうね。
＞自分の答案
>　　　C=180-(A+B)より、cosC=-cos(A+B)・・・(1)
>また、cosA+cosB=2cos(A+B)/2・cos(A-B)/2
これはいいでしょうね。Cを消去する。だから左辺は
2cos(A+B)/2・cos(A-B)/2+cos(A+B)
まだ和ですからこれを積に書き換える方法を考えます。
このままだと和積の公式を使えないので方法を考えて
次に使う公式は・・・(A+B)/2と(A+B)に注目して２倍角の公式で角をそろえましょう
cos(A+B)＝cos2(A+B)/2＝(cos(A+B)/2)^2-(sin(A+B)/2)^2
＝2(cos(A+B)/2)^2-1
これを代入して
2cos(A+B)/2・cos(A-B)/2+2(cos(A+B)/2)^2-1
－１がでてきて近づいたかんじです。－１はこのままほっといて前の２項に注目してこれを積にするので和積の公式を使う事に集中して
2cos(A+B)/2でカッコにくくって和積の公式です
2cos(A+B)/2{cos(A-B)/2+cos(A+B)/2}-1
＝2cos(A+B)/2{2cosA/2・cos(-B/2)}-1
＝2cos(A+B)/2{2cosA/2・cosB/2}-1
＝4cos(A+B)/2・cosA/2・cosB/2-1
cosA/2・cosB/2がでてきたので後はCを出すだけですね。
(A+B)/2＝90-C/2からcos(A+B)/2＝cos(90-C/2)＝sinC/2
これで完成
左辺＝4cosA/2・cosB/2・sinC/2-1

この回答へのお礼

非常にわかりやすい回答ありがとうございます。
僕は2倍角を利用して角をそろえる事を知りませんでした。

お礼日時：2008/05/24 22:05

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/05/24 17:07

> (1)をどのように処理すれば

公式
sin(A+B)=sinA cosB+cosA sinB
を使う。

> できるだけ詳しく計算過程を書いて教えてください。
他人に丸投げしないで質問者さんの計算過程をできるだけ詳しく捕捉に書いて、分からない箇所だけ具体的に質問して下さい。

証明の基本は
（左辺）-（右辺）= を変形して「=0」になることを示す。
そのためには、
i) 左辺と右辺から　C=180-(A+B)の関係を使ってCを消去する。
ii) 左辺と右辺をsinA,cosA,sinB,cosBだけであらわす。

これをすれば「=0」となるはずです。

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2008/05/24 17:07

（cosA+cosB）＋（1-cosC）＝4cos(A/2)・cos(B/2)・sin(c/2)が成立することを証明するだけ。

あとは、倍角と加法定理の練習。1-cosC＝2{sin(c/2)}＾2を使えば良い。

＞どうして、その解法が浮かんだのかも書けるだけ書いてください。

そうすると簡単に行くから、結局“慣れ”の問題。

No.1 回答者： ency 回答日時： 2008/05/24 17:06

とりあえず、左辺から右辺への導き方だけ書いておきます。

(1) まず、cosA+cosBについて和積の公式を適用。
　⇒A+B+C=180を使うと、sin(C/2) が出てくる。
(2) 残った cosC については、(1) で出てきた sin(C/2) に着目しつつ2倍角の公式を適用。
　⇒「-1」の項を残すと、残りの項は sin(C/2) でくくることができる。
(3) sin(C/2) でくくった括弧の中をまとめる。
　⇒A+B+C=180を使うと、うまく和積の公式を使うことができて、右辺を導くことができる。

ちなみに、(1) で「cosB-cosC」や「cosA-cosC」の部分に和積の公式を適用しても (2) で 2倍角の公式をうまく使えば同様に証明する式の右辺を導くことができます。

まるまる答えを書いてしまうと規約違反になるので、この辺にしておきますね。

ご参考まで。