No.2ベストアンサー
- 回答日時:
siegmud です.
すみません,ちょっと表現がまずくて,不親切でした.
cos^2(θ)で割ると
(4) {tan^2(θ) / [1+tan^3(θ)]^2} × {dθ/cos^2(θ)}
の形になっています(本当はこれに 9a^2/2 がかかる).
で,
(2) y = tanθ
とおくと,(4)の2つめの { } がちょうど dy になっています.
なぜなら
(5) dy/dθ = 1/cos^2(θ)
ですから.
θが 0 から π/2 まで変化するとき,y は 0 から ∞ まで変化しますから
結局
(6) ∫{0 → ∞} y^2 dy / (1+y^3)^2
を計算すればよいことになります.
一見やっかいそうですが,
(3) y^3 = t
とおいてみると,またまた y^2 dy が
数係数を別にしてちょうど dt になっています.
なぜなら
(7) dt/dy = 3y^2 dy
ですから.
つまり,最終的には
(8) ∫{0 → ∞} dt / (1+t)^2
の積分に帰着されます.
係数のところなどはお任せします.
No.1
- 回答日時:
正葉線は
y
│
│ ※※※
※ │※ ※
※※ ※ ※
※※ ※
───────※※※──── x
│※
│ ※
│ ※
│ ※
│
のような形です.固定フォントで見てください.
モニタから少し離れて目を細くしてみると多少ましですかね.
囲まれた部分,ですから第1象限のところですね.
つまり,
(1) 0≦θ≦π/2.
r=3a cosθsinθ/(cosθ^3+sinθ^3)
で(質問の式は a が抜けていますね),
(1/2)r^2 をθで積分(範囲は(1)式)すればOK.
r^2 の分母分子を cos^2 θで割ると,
tanθだけで被積分関数が書けます.
ここで,
(2) tanθ = y
とおけばうまく行きます.
わからなければ,もう一度
(3) y^3 = t
とおいてみてください.
分子にちょうど dy/dt が出ている形になっています.
最終結果は (3/2)a^2 です.
この回答への補足
回答ありがとうございます。
やりたいことは分かったのですが、cosθ^2で割ってもtanθだけで書き表すことができません。
そこの式を詳しく書いてもらえると嬉しいです。
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