No.3ベストアンサー
- 回答日時:
No.2の回答に補足しておきます。
cos(nx)=fn(cos(x))
となるような多項式fn(x)を(n次の)チェビシェフの多項式と言いますが、fn(x)はxのn次の多項式になります。
n=1のとき、cos(1x)=cos(x)より、
右辺のcos(x)をxで置き換えて、
f1(x)=x
n=2のとき、cos(2x)=2(cos(x))^2-1より、
右辺のcos(x)をxで置き換えて、
f2(x)=2x^2-1
n=3のとき、
cos(3x)=4(cos(x))^3-3cos(x)より、
右辺のcos(x)をxで置き換えて、
f3(x)=4x^3-3x
以下、cos((n+1)x)+cos((n-1)x)=2cos(nx)cos(x)より、
fn+1(x)=2xfn(x)-fn-1(x) ・・・(*)
という漸化式が得られるので、
f4(x)=2xf3(x)-f2(x)
=2x(4x^3-3x)-(2x^2-1)
=8x^4-8x^2+1
つまり、cos(4x)=8(cos(x))^4-8(cos(x))^2+1
f5(x)=2xf4(x)-f3(x)
=2x(8x^4-8x^2+1)-(4x^3-3x)
=16x^5-20x^3+5x
つまり、cos(5x)=16(cos(x))^5-20(cos(x))^3+5cos(x)
というようにして、fn(x)を順次求めて行くことができます。
数学的帰納法により、漸化式(*)を利用して、fn(x)が最高係数が2^(n-1)のn次の多項式であることが証明できます。
-1≦cos(x)≦1,-1≦cos(nx)=fn(cos(x))≦1より、
チェビシェフの多項式で与えられるn次関数:y=fn(x)のグラフは、
-1≦x≦1,-1≦y≦1
の正方形の中にスッポリと収まるお行儀の良い関数なので、
入試でもよく使われます。
No.2
- 回答日時:
cos(nx) = fn(cos x) であれば、
fn(y) = cos(n・cos^-1 y) ということです。
この式によって、fn を定義しているのです。
「なにを意味し」の内容は、その式自身にあります。
# ここで cos^-1 y は、1/cos y ではなく、
# cos の逆関数という意味です。
この例の fn は、「チェビシェフの多項式」といって、
結果的に、多項式で表される関数となります。
「三角関数の倍角公式」について調べてみると
よいでしょう。
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