三角関数の問題

「0≦θ<2πのときsinθ<tanθを解け」これ教えて下さい

No.7 回答者： akari31 回答日時： 2024/05/02 15:12

0≦θ<2πのときsinθ<tanθ­=sinθ/cosθより、cosθ≠0、θ≠π/２、θ≠３π/2

両辺に (cosθ)^2を掛ける
sinθ (cosθ)^2<sinθ cosθより、sinθ cosθ(1 – cosθ)＞0
よって、 cosθ≠1　θ≠0　従って、 1 – cosθ＞0
sinθ cosθ＞0より、第一、第三象限ですので、
No . 2で正解です。

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2024/05/02 12:11

0≦θ<2πのとき

cosΘ<1
cosΘ/cosΘ　<1/cosΘ
１<１/cosΘ
sinΘ<sinΘ/cosΘ=tanΘ

cosΘ=0 の時は　Θ=Π/２,3Π/2　で
Θ=Π/２　,　3Π/2の時は
sinΘ=1 tanΘ= +∞　となりtanΘの値が存在しないので不可

sinΘ=0 の時は　Θ=0,Π　で　sinΘ=sinΘ/cosΘ=tanΘ=0
で成り立たない

０<Θ<Π/2　, Π<Θ<3Π/2　　　　　...........Ans
の間はsinΘもtanΘも正なのでOKだが

それ以外の範囲はsin Θは正だが　tanΘはcosΘが負なので不適

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/02 10:42

0≦θ<2π

sinθ<tanθ
sinθ<sinθ/cosθ
0<sinθ/cosθ-sinθ
0<(1-cosθ)sinθ/cosθ
1-cosθ>0
0<sinθ/cosθ
{(sinθ>0)&(cosθ>0)}or{(sinθ<0)&(cosθ<0)}
(sinθ>0)&(cosθ>0)のとき0<θ<π/2
(sinθ<0)&(cosθ<0)のときπ<θ<3π/2

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/02 08:52

グラフを描くのが早い

この回答へのお礼

お礼日時：2024/05/02 13:32

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/05/02 07:52

式をイジクる前に、まずはsinθとtanθのグラフを描いて眺めてみよう。

この回答へのお礼

なるほど！その発想は無かった

お礼日時：2024/05/02 13:33

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/05/01 23:06

＞sinθ<tanθ

tanθ = sinθ/cosθ ですから
まずは
　cosθ ≠ 0
つまり
　θ ≠ (1/2)π, (3/2)π

その上で

　sinθ < sinθ/cosθ

(a) sinθ ≧ 0 のとき
　1 < 1/cosθ

(a-1) cosθ > 0 のとき
　0 < cosθ < 1
よって
　0 < θ < (1/2)π

(a-2) cosθ < 0 のとき
　これを満たす θ はない。

(b) sinθ < 0 のとき
　1 > 1/cosθ

(b-1) cosθ > 0 のとき
　これを満たす θ はない。

(b-2) cosθ < 0 のとき
　cosθ < 1
その共通範囲は
　cosθ < 0
よって
　π < θ < (3/2)π


以上より、
　0 < θ < (1/2)π, π < θ < (3/2)π

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/01 22:53

sinθ = (tanθ)(cosθ) が成り立つのは知っているでしょう？

代入して移項して整理すれば、0 < (tanθ)(1 - cosθ). これは
(tanθ > 0 かつ 1 - cosθ > 0) または
(tanθ < 0 かつ 1 - cosθ < 0) と分解できますよね。

1 - cosθ ≧ 0 が任意の θ について成り立つので、結局
与式は (tanθ > 0 かつ 1 - cosθ ≠ 0) と同値になります。

0≦θ<2π の範囲で、そうなるような θ を見つけることは、
y = tan x と y = cos x のグラフを思い出せば容易でしょう。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/05/01 23:51