簡単な文章なのですが、ずっと考えています。
質量が無視できる長さa[m]の棒の先端に質量m[kg]の錘がくっついている。
錘でないほうの端を釘にさして、半径aの円運動が自由にできるようにする。
今錘を釘の真上に持ってきて静止させておき、静かに放す。
ここを基準にしたとき、棒が動き出してからの回転角度がθになるまでの
時間を求めよ。
以前別の掲示板で質問させていただきましたが、自由落下で考えるという
ものと、棒からの拘束を考慮しないといけないもの(微分方程式)
と二つに分かれ、特に後者は難しかったのでよくわかりませんでした。
下記サイトをご覧になっていただくと助かります。
http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs …
きちんとした結果を出したいのですが難しく、困っております。
自分で考えた問題ですので不備なところがあるかもしれません。
どなたかご教授願います。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
(1)rθ”=gsinθ
両辺にθ'をかけます。
θ'θ"=(g/r)θ'sinθ
((θ')^2)'=-2(g/r)(cosθ)'
(θ')^2=C-2(g/r)cosθ
θ=0の時、θ'=0 ですから
(θ')^2=2(g/r)(1-cosθ)=4(g/r)(sin(θ/2))^2 (※)
θ'=2√(g/r)sin(θ/2)
θ=0の時、θ'=0になるのは初速度0の運動を考えているからです。ところがこの場所では力が鉛直にしか働いていません。水平方向への飛び出しは無理だということになります。θ=0は釣りあいの位置です。でも不安定な釣り合いです。わずかな揺らぎがあれば動き始めます。回復力が出てきませんので安定な釣り合いではありません。ピストンの動きなどの場合はこういう点を死点と呼んでいますね。
小さな初速度を与えてやれば動き始めます。
エネルギー保存の式ではこういうことは分かりません。
微分方程式を解くときは
dθ/sin(θ/2)=2√(g/r)dt
ですが左辺が問題ですね。
(2)v=rθ'であることを考えるとエネルギー保存の式から(※)の式が出てきます。
No.5
- 回答日時:
たびたびすみません。
#4を投稿した後に補足を拝見しました。
実際実験をする場合に,たとえば初期角度をわずかに
とって初速ゼロではじめます。ちょっと傾けるので,
その角度は実験ごとにわずかに異なります。ところが
その「わずか」な差が,時間的に大きく差が出るという
ことになります。
有限の角度ではっきりしているのなら計算はできますが,
その角度を小さくすればするほど実験上のちょっとした
誤差がとんでもない時間差を生じるというわけですね。
No.4
- 回答日時:
間違えました。
ごめんなさい。エネルギー保存から,
1/2 ma^2ω^2=mga(cosθ0-cosφ)
ω=dφ/dtより,
dt=dφ/√(cosθ0-cosφ)×√(2g/a)
ゆえに
T=∫[θ0:θ](1/√(cosθ0-cosφ))dφ×√(2g/a)
ですね。
θ0→0で無限大発散,以下同じです。
No.3
- 回答日時:
数学的には答えは無限大になります。
#2さんの考察であっていると思います。
結果,T=∫[θ0:θ](1/sin(φ/2))dφ×1/2・√(a/g)
となりますが,θ0→0で無限大に発散します。
つまり,釘の真上はつりあいが成立していますから,
数学的には決して動き出さないのです。ちょっと押して
動かしたときは,その初速度やちょっと傾けた初めの
角度を初期条件として有限の時間を数値積分可能ですが,
その条件によって大きく変わることになるでしょう。
ですから,実験的にもこの時間は測定ごとにかなりの
差をもつはずです。
この回答への補足
楕円積分を読んで、よくわかりました。
ではおっしゃるように、この時間が求められたとしても、
実際にモデルをつくってもその時間どおりにはいかないということに
なるのでしょうか。
No.2
- 回答日時:
自由落下ではありません。
円周に沿っての運動では加速度が一定にならないからです。
微分方程式を解く事になります。
微分方程式は運動方程式からでもエネルギー保存の式からでも求められます。
ω=dθ/dt=2√(g/r)sin(θ/2)
でもこれを解いてθをtの関数で表すことは簡単ではありません。
エネルギー保存の式は位置と速さの関係を求めるためのものです。
時間を求める事が出来るのは限られた条件の時だけです。
この回答への補足
コメントをありがとうございました。ところで私だけ分かっていないのですが、
ma(θ”sinθ+θ’^2cosθ)=mg-Tcosθ
ma(θ”cosθ-θ’^2sinθ)=Tsinθ
この2式からTを消去すれば
aθ”=mgsinθ
となって同じ式になる。
の部分(私がリンクしたサイトの35382にあるものです)で、
aθ”=mgsinθ
をどう変形するとθ''=-ω^2・sinθ
となるのでしょうか。
また、htms42さんが示してくださった
ω=dθ/dt=2√(g/r)sin(θ/2)は、
どのようにして出てきたのでしょうか。
1/2・mv^2のvはωのことなのでしょうか。
すいません、理解が乏しいです。もう一度お願いいたします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 力学的エネルギー保存則について 4 2023/06/06 14:02
- 物理学 物理の単振動の問題で分からない所を教えてください 1 2023/05/10 20:59
- 物理学 自由落下について教えてください。 4 2023/06/05 20:40
- 物理学 物理 長さがL=4.0mのはしごが壁に立てかけてある。はしごと床の角度は60°である。壁とはしごの上 1 2022/08/03 18:02
- 物理学 材料力学の問題です。2問あります。 解き方を教えていただきたいです。 (1)長さl,底面の半径をrの 1 2022/06/09 23:54
- 物理学 角運動量の定義式 4 2022/12/18 05:36
- 物理学 図のように、内半径aの中空の円筒が、その中心軸が水平になるように固定されており、その中で、 質量 M 7 2023/02/15 09:23
- 数学 数学微分方程式の問題です。次に書く問題を教えて欲しいです。上端を固定された長さlの棒の先に質量mの質 2 2022/04/29 21:27
- 物理学 長さaの軽い棒の各端に質量mの物体A,Bを取り付け、なめらかな床の上におき、これを棒の中点Oを中心と 2 2022/10/09 19:16
- 物理学 誘電率ε_0の真空中に、2つの円筒極板AとBがあり、 A の外半径はa, Bの内半径はbである (a 4 2023/03/10 20:28
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
電磁気の問題です
-
中が中空の球の慣性モーメント...
-
高校物理の質問です。 【問題】...
-
なぜ、θが微小なとき、tanθ≒θと...
-
√3sinX−cosX≦√3 (0≦θ≦2π) のと...
-
-cosθがsin(θ-π/2)になる理由が...
-
くさび状態の2物体間のすべりの...
-
機械設計のねじ
-
この問題を教えてください。(電...
-
太陽光の反射角の計算
-
解析力学の問題です
-
くぼみの表面積
-
「物理の衝突に関する問題」 F...
-
図のような2力の合力を計算によ...
-
フーリエ級数展開をExcelのFFT...
-
誘電体電界・電束密度境界条件...
-
F1の分力の求め方を教えてくだ...
-
偏微分・全微分を使った証明
-
物理で出てきたのですが数学の...
-
双線形関数は物理学でどこに登...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
なぜ、θが微小なとき、tanθ≒θと...
-
高校物理の質問です。 【問題】...
-
有限長ソレノイドコイルの中心...
-
機械設計のねじ
-
電磁気の問題です
-
-cosθがsin(θ-π/2)になる理由が...
-
√3sinX−cosX≦√3 (0≦θ≦2π) のと...
-
矩形波duty比を変えた場合のフ...
-
sinとcosの使い分けの仕方を教...
-
くさび状態の2物体間のすべりの...
-
【数学】梯子の角度はハシゴの...
-
なぜsinθはθに近似できるのです...
-
中が中空の球の慣性モーメント...
-
トグル機構 Wikipedia
-
毛細管現象と表面張力について
-
(111)面を上にもってくる...
-
くぼみの表面積
-
質量無視できる2等辺3角形 Oの...
-
標的への斜方投射
-
サインカーブの長さ
おすすめ情報