位相空間 球面

ユークリッド空間R^1に無限遠点を加えると円周S^1になる。
ユークリッド空間R^2に無限遠点を加えると球面S^2になる。

こういう説明がありますが、この場合、無限遠点を通る線は、曲線と言って良いんですか？
たとえば、繋がっているというんでしょうか？

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/09/27 21:17

>無限遠点を通る線は、曲線と言って良いんですか？

ちょっと、ご質問の意味がよく分からないですが、「無限遠点を通る線は、連続かどうか」ということでしょうか。そういう意味ならYESです。ただし、No1さんの述べているように、無限遠点∞を込めた空間にどのような位相が入るかが重要です。
ユークリッド空間の各点に近傍が定義できたように、無限遠点∞にも近傍が定義できます。（どのように定義するかは質問者さんへの宿題とします。）ですから、∞を追加することにより、ユークリッド空間を拡張した位相が定義できることになります。∞を付加することにより、ユークリッド空間が拡張され、コンパクト化できました。ユークリッド空間の各点と∞は同格になったのです。∞を通る線も他の線となんの相違もありません。他の線と同様に、「繋がって」います。

この回答へのお礼

明確な回答ありがとうございます。

まず欲しかった情報は、無限遠点も繋がるかどうかだったので、疑問の半分は解決しました。
あとの半分のどう繋がるかを考えてみます。

＞無限遠点∞を込めた空間にどのような位相が入るかが重要です。

たとえば、距離関数をどう定義するか、でしょうか？
あれ？距離空間に出来ますよね？

ありがとうございました。

お礼日時：2008/09/27 22:35

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/09/27 21:04

とりあえず・・・0^0の話からすると

まず「定義の確認」が必要ですな
勝手な定義をでっちあげられると
話が大混乱します．

(1)位相空間の定義は？
(2)R^1，R^2にはいかなる位相を入れているか？
(3)R^1，R^2に無限遠点を加えるとは具体的にはどういう操作か？またその結果得られた空間は具体的にどのような集合か？
(4)(3)の操作によって作成された空間にはどのような位相を導入するのか？
(5)「無限遠点を通る線」とは何か？
(6)「曲線」とは何か？
(7)円周・球面の定義は？またどのような位相をいれているのか？
(8)「繋がっている」というのが「何がどのようになっている」ことを意味するのか？

これくらいは確認しないと
本当に意味が同じ「共通の言葉」を使ってるとは
信じられません。

==============
質問者が嫌いらしい「常識的な定義」を前提とすると，
R^1の問題に関しては
f(t)=((1-t^2)/(1+t^2). 2t/(1+t^2))
f(∞)=(-1.0)
とすればこれが同相写像になる．
＃三角関数の微積分ができるなら
＃これが直線と円周の対応なのは自明だろう

R^2に関してもほぼ同様．
例えば(0,0,1)からの立体射影を考えればいい．
計算は簡単だがここに書くにはしんどいから省略．
＃なおR^2を複素平面とみなした場合，
＃1/0=∞はこの文脈において正当化される．
＃決して「いつでも」というわけではない！

R^2に無限遠点を追加した空間（便宜的にCP^1と書く）を
S^2と同一視した場合，
S^2の部分集合はCP^1の部分集合とみなせる．
S^2の部分集合XがCP^1の中の無限遠点に対応する点を含む場合，
当然，X（の像）はR^2の無限遠点を含むものになる．

この回答へのお礼

＞勝手な定義をでっちあげられると
＞話が大混乱します．

この質問では、定義は（なるべく）しません。
普通の位相の定義がどんなだろうという調査です。

＞質問者が嫌いらしい「常識的な定義」を前提とすると，

いえいえ。「勉強では常識を、実用では非常識を」がモットーです。
それに、「困った時は、基本に戻る」も好きです。

昔見たことがあるような（そして忘れていた）言葉がたくさん出てきて助かります。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/09/27 22:19

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/09/27 20:38

質問への回答：

「無限遠点を通る線」の「線」って何でしょう？
意味を定義して言葉を使っていますか？
何らかの意味で「線」と呼べるものならば、
「直線は曲線じゃない」とか言い出さない限りは、
「曲線」と呼んでも良いのではないでしょうか。
正確には、新しく定義した位相空間上で「曲線」という語を
どう定義するかしだいです。
それを「曲線」と定義するならば、それは「曲線」です。

蛇足(あるいは前質問の続き)：

位相空間は、対象集合と、その上の開集合族のペアからなります。
実ユークリッド空間は、実数集合 R の直積を対象集合とし、
ユークリッド距離による距離近傍が生成する開集合族を持つ
位相空間です。
「ユークリッド空間に一点を加える」と言うとき、
対象集合にだけ新しい一点を加えて、開集合族が元のままだったら、
そのペアは、開集合族の公理を満たさず、位相空間になりません。
すくなくとも、一点が加わった新しい全体集合を開集合族に加える
必要があります。
それだけでも、新しい空間は位相空間になりますが、
そのままでは、せっかく加えた一点は、孤立していて、
位相空間の点としては何の意味もありません。
加えた一点の近傍を適当に定義して、開集合族に加えて初めて、
その一点は、新しい位相空間の点として意味を持ちます。

くどい言い方になりましたが、要するに、
位相空間に点を加えたら、その点の近傍を定義せよ！ ということです。
s^1, s^2 の位相は、定義できましたか？

この回答へのお礼

＞位相空間に点を加えたら、その点の近傍を定義せよ！ ということです。

まさにそこが疑問だったんです。
加えた点にも近傍があるんですよね、という疑問です。
普通はどう定義しているんだろうと。
それを知らないと、点を加えるという意味がつかめない。

＞s^1, s^2 の位相は、定義できましたか？

さっぱりです。
でも、これが理解できないと0^0には戻れませんよね。
そこだけは、理解しました。

＞正確には、新しく定義した位相空間上で「曲線」という語を
＞どう定義するかしだいです。

球面S^2とかって普通に出てくるので、既に決まった定義があると思ってました。
今知りたいのは、普通の定義の上での、曲線ってなんなの？という疑問です。

色々新しい言葉が出てきたので、それを元に調べてみます。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/09/27 21:56