位相空間　球面

Question

ユークリッド空間R^1に無限遠点を加えると円周S^1になる。
ユークリッド空間R^2に無限遠点を加えると球面S^2になる。

こういう説明がありますが、この場合、無限遠点を通る線は、曲線と言って良いんですか？
たとえば、繋がっているというんでしょうか？

arrysthmia · Accepted Answer

ユークリッド空間の一点コンパクト化 R^n ∪ { ∞ } の位相で
私が個人的に慣れているのは、
ユークリッド距離を d( , ) と書くとして、
V_r = { x∈R^n | d(x,0)>r } が成す集合族 { V_r | r∈R } を
点 ∞ の近傍基とするものです。

「近傍基とする」とは、
ユークリッド空間 < R^n, d > の開集合族を Ｏ と書くとして、
Ｏ ∪ { V_r | r∈R } が生成する開集合系を、
新しい位相空間の開集合族とする　という意味です。

これも「普通」のひとつではないかと思います。
No.4～5 の位相とは、「たぶん」一致するハズです。

arrysthmia · Answer

←No.12 補足
V_r は ∞ を含まないと解釈してしまうと、
∞ の「近傍」ではなく、「除外近傍」でしたね。

距離関数 d( , ) を拡大解釈して、
　　∀x∈R^n; d(x,∞)=∞,
　　∀r∈R; r<∞
から ∀r∈R; ∞∈V_r としてもバチは当たらないし、
字面どおり、V_r を除外近傍としておいて、
近傍基のほうを { V_r ∪ {∞} | r∈R } に訂正してもよいでしょう。
どっちでも、似たようなものです。

R^n ∪ {∞} は、Ｏ ∪ { V_r | r∈R } には含まれませんが、
∞∈V_r とすれば、Ｏ ∪ { V_r | r∈R } が生成する開集合系には含まれます。

arrysthmia · Answer

No.9 の [0,0] は、違いますね。失礼しました。
近傍の定義は、No.10 さんの説明どおりです。
（閉区間も距離近傍の内である事は変わりません。）

No.9 の「開集合族」「開集合基」は、標準的な用語ですが、
「開集合系」は、やや恣意的な言葉遣いだったかもしれません。
いわゆる「開集合の公理」を満たす部分集合族を一般に「開集合系」、
その内で、特定の位相空間を定義する開集合族として指定されたものを「開集合族」
と、呼び分けたつもりでしたが…。
「開集合基」は、対象集合の部分集合族で、その集合族を含む最小の「開集合系」が
その位相空間の「開集合族」となるようなもののことです。

＞ 区間[0,∞)はS^1と同相である。

位相空間とは、対象集合と開集合族のペアで定義されるものです。
対象集合が共通でも、ペアとなる開集合族が異なれば、異なる位相空間となります。
（それが、前記で「開集合族」と「開集合系」を区別しようとした理由でもあります。）
S^1 と言えば、単なる点集合としての単位円ではなくて、位相もコミでそう呼びますが、
[0,∞) には、そのような標準的な位相は決まっていません。
強いて言えば、実数空間からの相対位相が標準的ということになりますが、その場合、
S^1 とは、同相ではありません。
ただし、集合 [0,∞) に、適当に開集合族を添えて、S^1 と同相にすることは可能です。

rinkun · Answer

ANo.10のお礼から
> 説明不足でしたが、この場合の近傍とは、閉近傍であり、通常の開近傍とは別のものです。

少なくとも一般の意味での閉近傍であれば、ANo.10で述べた通りです。
閉近傍は近傍のうち閉集合でもあるものであり、それ以外のものではありません。
通常の実数体の位相では、x>0のとき[-x,x]は0の閉近傍ですが、[0,0]は0の近傍になりません。
ただ[0,0]={0}の相対位相で考えるなら、全空間たる[0,0]は開集合かつ閉集合ですから近傍でもありますけど。

rinkun · Answer

一点だけ。
[0,0]={0}は通常の実数の位相で0の近傍ではありません。
点xの近傍は点xを内点として含む集合です。
0は{0}の境界点であり内点でないので近傍ではありません。

arrysthmia · Answer

←No.6 補足
「開集合」と「開区間」の区別がついていない感じで、
心許ない印象です。

全ての開区間から成る集合族は、具体的な一次元実数空間の
開基（開集合基）とはなりますが、開集合族そのものではないし、
一般的な位相空間の開集合とイコールの概念ではありません。
「ある位相空間の開集合族」という用語については、必ず
教科書で確認のこと。そうでないと、話が始まりません。

＞ 開集合族というのが、開集合の部分集合の集合という意味で合ってますか？

「位相空間の開集合族は、対象集合のベキ集合族の部分集合族である」
とでも言うべきでしょう。ベキ集合族から部分集合族を選んで
位相空間の開集合族に決める選び方は、開集合族の公理を満たしてさえ
いれば任意です。ここに、位相空間を好きに創造する余地があります。

繰り言いですが、「開集合の部分集合の」の箇所の「開集合」は、
位相空間の開集合族の元という意味での一般的な「開集合」と
具体的な実数空間での「開区間」がゴッチャになっているようで、
心配です。

＞ 閉集合[0,0]には0の近傍はない？
＞ それとも、0自身が近傍でしょうか？

ここでも「閉集合」と「閉区間」が…。

閉区間 [0,0] とは、要するに、一点集合 { 0 } のことですが、
実数位相では、これは、点 0 の近傍のひとつです。
閉集合ですから、「閉近傍」ですね。よく、近傍基の例として
ユークリッド空間の開近傍系 { { y | d(y,x)<r } | r∈R } などが
挙げられるので、「近傍」というと開近傍ばかり連想しがちですが、
よく見かける位相空間の「近傍」には、開近傍も、閉近傍も、両方
含まれているのが普通です。

「0自身が近傍」は、いただけません。近傍と言うからには、
対象集合の部分集合のひとつでなくては話になりません。
点 0 と、一点集合 { 0 } は、全く別のものです。

33550336 · Answer

「気がした」だけでは駄目なんです。
厳密な証明を試みてください。
感覚を頼りに話を進めようとするから前回みたいに話が混乱するのです。

それにまだ補足は足りません。

＞無限遠点を通る線
＞曲線
＞繋がっている

の、この文脈における定義をお願いします。
確認しないことには話が進みません。

33550336 · Answer

No.4,5です。
ややこしくてすいません。そういうことです。
あと上のR^n∩{∞}もR^n∪{∞}に直してください。
この位相はNo.6さんのおっしゃっている位相と一致します。
証明は任せます。
で、これでいいんでしょうか？

33550336 · Answer

すいません、タイプミスです。
∩をすべて∪に置き換えて考えてください。

33550336 · Answer

前回のような誤解を防ぐため、まず定義の確認から…

「普通」、Euclid空間に無限遠点を付け加えるというのは以下のような作業をする、というのが私の解釈です。

Euclid距離位相の入った位相空間R^nに対し、新たな点{∞}を付け加え、もともとR^nに入っている位相Οを元にR^n∩{∞}に新たな位相Ο’を以下のように定義する。

(1)　Ｕ∈Ο　なら　Ｕ∈Ο’
(2)　Ｕ∈Οの補集合がコンパクトなら　Ｕ∩{∞}∈Ο’

このように定義した位相でよろしいのでしょうか？
ちなみにこの位相なら、S^nに標準的な位相を入れた位相空間と同相になることが知られています。

位相空間 球面

ユークリッド空間の一点コンパクト化 R^n ∪ { ∞ } の位相で

←No.12 補足

No.9 の [0,0] は、違いますね。

ANo.10のお礼から

一点だけ。

←No.6 補足

「気がした」だけでは駄目なんです。

No.4,5です。

すいません、タイプミスです。

前回のような誤解を防ぐため、まず定義の確認から…

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