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マクローリン展開は、関数が与えられたとき、その関数をべき級数で表す式でした。
積率母関数は、変数をθで表すと
M(θ)=E[exp(θx)]
と定義されています。expのマクローリン展開を用いると
=1+m1θ+m2θ^2/2!+…
の形に表され、このとき係数mkはk次の積率に一致するというものでした。マクローリン展開の特別の場合といってしまえばそれまでですが、こういうものを考えたのには、それなりの理由があります。
確率の応用では、平均や分散などの積率を求めることが必要です。積率を個別の式で表してみても見通しが悪いので、適当な関数を使って一個の式で表してしまおう、というのが積率母関数です。このアイデアはラプラスが考案しました。
積率母関数では、関数の値ではなく式の形に注目します。また、原点の周りでの展開ができさえすればよく、関数の値や収束半径は通常、問題にされません。一方、解析学ではマクローリン展開は関数の近似に使われていましたから、その辺の意味合いというか、用途が違っているような気がします。
ついでにいうと、積率母関数が決まらない確率分布もあるので、代わりに、特性関数
φ(θ)=E[exp(iθx)] (i=√(-1))
を用いることもあります。これは、解析学でいうフーリエ変換にあたります。
>マクローリン展開の特別の場合
・・・う~ん、なるほど。指数関数のマクローリン展開を、
平均(原点まわりの1次の積率)・分散(平均値まわりの2次の積率)を求めるために使ったのですね?
3次以上の積率は、私にはイメージできませんが、歪み・尖りetc.でしょうか?確率変数を、わざわざ二乗して分散を作るのは、正の値にするためだと聞きました。
4次の積率は、きっとそうして使われているのか?と思います。
考えてみれば、独立な確率変数の
和の分布が、m.g.f.の積になるのも、指数関数だから当り前ですね。
う~ん・・・、ナゾが解けてみると、あっけらかんとして、
疑問は解消したのですが、ワクワク感も消えて、うう~んという感じです。(確率と解析の、ひも理論のような合体かと思っていました)
ありがとうございました。感謝しております。
複素数を、まるで理解していないので、ずっと前から買おうと思っていた、小寺平治「明解演習 線形代数」を、楽しみながら読もうと思います。
ずっと悩んでいる数学の疑問が、いくつかありますので、
またぜひ、ご教示いただければ幸甚です。
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