中3数学

下の図の四角形ABCDはBC＝8cm高さが4㎝の平行四辺形でBD平行PQ、CP＝x㎝とする
三角形APQ＝39/4のときCPの長さを求めよ
この問題の解き方を教えて下さい。
答えは3㎝です

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2016/10/17 11:40

う～ん、No.5の説明はちょっとくどいので再投稿（ｺﾞﾒﾝﾅｻｲ）｡

やっぱ、みなさんのやっておられるとおり、ここは
△ＡＰＱ＝平行四辺形ＡＢＣD―△ＡＢＰ―△ＰＣＱ―△ＡＤＱとやるのが自然、
ただ、△ＡＤＱの面積を出すのが、ちとめんどう。そこで気付いたのは（下図）
ここで、△ＡＤＱと△ＢＣＤは底辺ＤＱと底辺ＣＤが同じ直線上にあり、ＡＢ、ＣＤが平行だから、
高さは（下図の白線分）は共通、したがって、△ＡＤＱ：△ＢＣＤ＝それぞれの底辺の比＝ＤＱ：ＣＤ　
それと△ＰＣＱ∽△ＢＣＤより、ＤＱ：ＣＤ＝ＢＰ：ＢＣ＝8―ｘ：8、したがって
△ＡＤＱ＝△ＢＣＤ×(8―ｘ)/8=(8×4/2)×(8―ｘ)/8=2(8―ｘ)
一方、△ＡＢＰ＝（1/2)(8―ｘ)×4=2(8―ｘ) 、
また、△ＰＣＱ∽△ＢＣＤで、その相似比はｘ：8したがって、△ＰＣＱ：△ＢＣＤ＝ｘ²：8²
△ＰＣＱ＝(ｘ²/8²)△ＢＣＤ＝ｘ²/4、あと平行四辺形ＡＢＣD＝8×4、△ＡＰＱ＝39/4を
いちばん上の式に入れて、
39/4＝32―2(8―ｘ) ―(ｘ²/4)―2(8―ｘ)、これを整理して、ｘ²―16ｘ＋39＝0、Ｘ＝3 or 13
題意からＸ＝3ｃｍとでます。

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2016/10/16 11:56

線分ＡＰ、ＡＱと対角線ＢＤとの交点をそれぞれＲ、Ｓとすれば、

△ＡＤＲ∽△ＢＰＲより、ＢＲ：ＤＲ＝8―ｘ：8、これから、ＢＲ：ＢＤ＝8―ｘ：16―ｘ
△ＡＢＳ∽△ＤＱＳより、ＤＳ：ＢＳ＝ＤＱ：ＡＢ＝ＤＱ：ＤＣ、ここで△ＣＰＱ∽△ＢＣＤなので
ＤＱ：ＤＣ＝ＢＰ：ＢＣ＝8―ｘ：8　つまりＤＳ：ＢＳ＝8―ｘ：8、
これからＢＳ：ＢＤ＝8―ｘ：16―ｘ、これと先に出したＢＲ：ＢＤ＝8―ｘ：16―ｘより
ＲＳ：ＢＤ＝ｘ：16―ｘ、
△ＡＲＳと△ＡＢＤは底辺が同じ直線上にあり、Ａ点の高さが等しいから
△ＡＢＤ：△ＡＲＳ＝ＢＤ：ＲＳ＝16―ｘ：ｘ＝8²(16―ｘ)：8²ｘ・・・①
また、△ＡＰＱ∽△ＡＲＳで、ＡＲ：ＰＲ＝8：8―ｘよりＡＰ：ＡＲ＝16―ｘ：8
したがって、△ＡＰＱ：△ＡＲＳ＝(16―ｘ)²：8²＝ｘ(16―ｘ)²：8²ｘ・・・②
①②より△ＡＢＤ：△ＡＰＱ＝8²(16―ｘ)：ｘ(16―ｘ)²＝8²：ｘ(16―ｘ)
ここで、△ＡＢＤ＝16、△ＡＰＱ＝39/4を入れて二次方程式、39＝ｘ(16―ｘ)が立ち、それをとけば
ｘ＝3と13が出てきて題意によりｘ＝3ｃｍが出ます。

No.4 回答者： tantanmm 回答日時： 2016/10/13 01:10

No.3 回答者： ピッキー さん

＞ABPとADQが合同
この部分だけ 疑問です．
面積は同じですが，合同にはならないのでは？

横からで申し訳ないです．．

No.3 回答者： ピッキー 回答日時： 2016/10/12 23:42

最初に

CPQとCBDが相似
ABPとADQが合同
これに気付きましょう

まずCPQの面積は相似であるCBDの一辺の比の2乗になります。
この場合の一辺の比は
PC/BC=x/8
よってCPQの面積は
CBD×(x/8)^2=x^2/4になります
つぎにABPの面積は
底辺×高さ/2なので
(8-x)×4/2=16-2x
です。
合同なADQも同じ値です

よって
CPQ+ABP+ADQ+APQ=平行四辺形
なので
x^2/4+2(16-2x)+39/4=32
x=3,13
ですが
問題文からxは8以下の値なので、
正解は3になります。

No.2 回答者： tantanmm 回答日時： 2016/10/12 22:41

No.1の方と同じで， >三角形APQ＝39/4 がひっかっかったけど，

三角形APQの面積＝39/4 cm^2 として，
△APQの面積をxで表すようにもっていけばよいのでは．

□ABCDの面積 ＝8*4 =32
△ABPの面積 =(1/2)*(8-x)*4
BC:BP=DC:DQ なので，
△ADQの面積 =(1/2)*8*(4- (8-x)/8)
△PCQの面積 =(1/2)*x*(4/8)*x = (x^2)/4

したがって
△APQ = □ABCD-(△ABP+△ADQ+△PCQ) =39/4
計算すると，
x=3,13 がでて・・・略

もっとスマートなやり方があるかも．

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2016/10/12 22:35

で、何が分からないのだろうか。

ちなみに自分がその設問で分からないのは
＞三角形APQ＝39/4のときCPの長さを求めよ
の「39/4」の部分。
なにこれ？
面積？…でも単位はどうした？
単位が無いから平行四辺形との面積比？？

…のように不明なところを示さないと、正答を見て分かったつもりになるだけで理解できていないなんてことは数学では良くあることです。

・・・
自分は上記の疑問があるので問題を解き始めることができない。
設問は正しく書き写そう。