No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>また、それならば「Pを求めよ」という問題に対しては、考えられる基底それぞれのPを計算してすべて決定しなければ、完全な解答とはならないということでしょうか?
固有ベクトルの作り方によってPは色々と変わってきます。
ですので、唯単に「行列Aを対角化する行列Pを求めろ」と言われた場合は無数の解答が存在することになるので、どれか一つを求めるだけで大丈夫です。
ただ、Aがエルミート行列(あるいは対称行列)で、それを対角化するユニタリ行列(あるいは直交行列)Pを求めろとされたときは少し注意が必要です。
Aの固有値がすべて異なるなら、Pは固有ベクトルの並べ方を覗けば唯一つに決まってしまいますので、あまりに答えとかけ離れていたら計算が間違っているのでしょう。
答えにないPが出てきた時、それが正しいPであるか検算する方法があります。
異なる固有値に属する固有ベクトルはすべて直交するので、求まった固有ベクトルの内積をそれぞれ計算してみましょう。固有値が異なるのに内積が0とならなかったら、そのPは間違いです。
また同じ固有値に属する固有ベクトルでもシュミットの直交化法をした後ならば直交していなければいけないので、同じく内積をとって0になることを確認しましょう。
また直交行列を求めろと言われたときは、各固有ベクトルは規格化されていなければならないので、ノルムが1になることも併せて確認しましょう。
あとは固有値をP1としたら、実際にAP1=αP1と正しい固有値が出ることも確認出来るはずです。
このようにPは色々と検算する方法があるので、心配になったら検算してみましょう。
上記の事が確かめられたら正しいPが得られているはずですので心配する必要はありません。
No.1
- 回答日時:
ただ単に基底の取り方が違うだけです。
c2=c1とすれば
c1(1,-1,1,-1)
というベクトルが
c2=-c1とすれば
c1(1,-1,-1,1)
というベクトルが得られることから、貴方が出した答えはあっているとわかると思います。
この回答への補足
ありがとうございます。でも、わからないのはこのあとグラムシュミットの直交化法をやって正規直交系を作るとき
P-1・A・P=直交行列
のPが違うものになってしまいます。このように基底の取り方の違で、Pはいろいろできても全部正しいといえるのでしょうか?
また、それならば「Pを求めよ」という問題に対しては、考えられる基底それぞれのPを計算してすべて決定しなければ、完全な解答とはならないということでしょうか?
このような問題の解答はいつもPは1通りになっていて、私のたどり着くPとは違っていることが多いので、どうも落ち着かないものですから。
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