質問

f(x)=x^2+y^2のD={(x,y):1≦x^2+y^2≦2、0≦y≦x}
の二重積分で
極座標変換を使うと思うのですがrとθの積分領域をどのように定めればいいのでしょうか?
考え方がわからないので考え方を教えていただけると幸いです。

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回答 (4件)

#3はミスしました。
無視してください。
再度訂正して掲載します。

問題1
f(x)=x^2+y^2のとき、積分領域D={(x,y):1≦x^2+y^2≦2、0≦y≦x}
とき、
次の二重積分を極座標変換で求めよ。
-----------------------------------
積分領域は半径√2の円とy=xで切り取られる下半分の
領域である。
V=∫∫f(x)dxdy 
=∫∫(x^2+y^2)dxdy 

極座標変換をする
1≦r≦√2
x=rcosθ
y=rsinθ
|J|=r
dxdy=rdrdθ

変換後の積分領域
1≦r≦√2
-3π/4≦θ≦π/4
はグラフ図より明らかです。

V=∫∫(r^2)rdrdθ
=∫∫(r^3)drdθ
=∫dθ∫(1/4)(r^4)[r=1、r=√2]
=∫[-3π/4、π/4]・(3/4) dθ
=(3/4)π

問題1
f(x)=x^2+y^2のとき、積分領域D={(x,y):1≦x^2+y^2≦2、0≦y≦x}
とき、
次の二重積分を極座標変換で求めよ。
-----------------------------------
積分領域は半径√2の円とy=xで切り取られる下半分の
領域である。
V=∫∫f(x)dxdy 
=∫∫(x^2+y^2)dxdy 

極座標変換をする
r=√2
x=rcosθ
y=rsinθ
|J|=r
dxdy=rdrdθ

変換後の積分領域
r=√2
-3π/4≦θ≦π/4
はグラフ図より明らかです。

V=∫∫(r^2)rdrdθ
=∫∫(r^3)drdθ
=∫dθ∫(1/4)(r^4)[r=0、r=√2]

=∫[-3π/4、π/4]・1 dθ
=π

#1です。
A#1の補足の質問の回答

-π≦θ<πの範囲で
0≦sinθ≦cosθ
となるθの範囲を求めるには
y=sinθとy=cosθのグラフ(概形でいいです)を重ねて描いて
y=cosθのグラフがy=sinθのグラフより上部(交点を含む)にくる
θの範囲を求めれば
-3π/4≦θ≦π/4
であることは簡単にわかるかと思います。
範囲が1つにつながっていますので積分を分割しないですみます。

最初のθの範囲を 0≦θ<2π で考えた場合は
同様にグラフを描いてθの範囲を求めると
0≦θ≦π/4 および 5π/4≦θ≦2π
と積分領域が2つに分かれて、積分を2つに分割して実行せねばならず
こちらのθの範囲を使わない方が無難でしょう。
(もちろん積分は正しく出来ますが、積分が煩雑になるだけです。)

> rとθの積分領域をどのように定めればいいのでしょうか?
Dの中の式で極座標の変換式を代入すればr,θの積分領域が決まります。
その際、r≧0,-π≦θ<π(または0≦θ<2π)であることを忘れないこと。

1≦r^2≦2 → 1≦r≦√2
0≦sinθ≦cosθ → -3π/4≦θ≦π/4
なので
変換後の領域は
D'={(r,θ)|1≦r≦√2,-3π/4≦θ≦π/4}

注意)このサイトのルールでは、質問者さんの考えた案(分かる範囲の解答)を書いて、行き詰ったところだけ質問することになっています。

質問を継続する場合は、補足に質問者さんのやった解答の過程を書いた上で質問して下さい。自力解答が出来る上がるまでやったことを書いて補足質問して下さい。

この回答への補足

rについては解答者さんのように求めたのですがθについてがわからず
私は図を書いて0≦θ≦π/4としたのですが本来はどのようにθを決定するのか
分からずに質問しました。
加えて質問なのですがなぜ
0≦sinθ≦cosθ → -3π/4≦θ≦π/4
となるのでしょうか?
無知ですいません。

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