四角形の面積の公式の証明

授業で下のような四角形の面積の公式を習ったのですが、　どうやって証明すればいいでしょうか？

「ある四角形ABCDの２本の対角線をACをX,BDをYとして、その２直線のなす角をθとすると　四角形ABCDの面積Sは

S=1/2 ×X×Y×sinθ
」

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2009/04/24 11:46

交点をＰとします。

△ＡＢＤ＝(1/2)ＡＰ・ＢＤｓｉｎθ
△ＣＢＤ＝(1/2)ＣＰ・ＢＤｓｉｎθ
四辺形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＤ＋△ＣＢＤ
　　　　　　　＝(1/2)(ＡＰ＋ＣＰ)・ＢＤｓｉｎθ
　　　　　　　＝(1/2)ＡＣ・ＢＤｓｉｎθ

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2009/04/24 05:15

Ｙに並行でＡを通る直線をＹ1、

Ｙに並行でＣを通る直線をＹ2、
Ｘに並行でＢを通る直線をＸ1、
Ｘに並行でＤを通る直線をＸ2とすると
Ｘ1、Ｙ2、Ｘ2、Ｙ1を4辺とする平行四辺形Ｓができる。
Ｙ1とＸ1の交点をＥ、Ｘ1とＹ２の交点をＦ，Ｙ2とＸ2の交点をＧ，Ｘ2とＹ1の交点をＨとすると、ＥＦ＝ＧＨ＝Ｘ，ＥＦ＝ＦＧ＝Ｙであって、平行四辺形ＥＦＧHの面積はＸＹsinθである。四辺形ＡＢＣＤの面積は平行四辺形ＥＦＧHの半分であることはたとえば三角形ＡＢＰと三角形ＡＢＥが合同であることから明らかである。よって四辺形ＡＢＣＤの面積はＸＹsinθ/2
ＱＥＤ

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/04/23 23:34

交点をPとおくと

△ABP＝1/2*AP*BP*sinθ
△BCP＝1/2*BP*CP*sinθ
△CDP＝1/2*CP*DP*sinθ
△DAP＝1/2*DP*AP*sinθ

AP*BP+BP*CP＝BP*(AP+CP)
CP*DP+DP*AP＝DP*(CP+AP)

これをまとめる