固有値が重解の行列Aの不動直線の求め方

お世話になります。よろしくお願いします。
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行列A＝(a b)の固有値が重解αを持つ時
　　　　　(c d)
一次変換Aの不動直線を求めたいのですが。
(固有値αの固有ベクトルを<u>とします。）
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固有値が重解の場合の不動直線の求め方は
なかなか本に載ってなくて困っています。
どのように考えればよいでしょうか？
勉強のためにいろいろな方針、解法を募集しますので
ご協力よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： hesaid 回答日時： 2009/05/16 16:01

NO.3です。

行列A（固有値αの重解を持ち且つA≠αE）によって表される一次変換をｆとし、座標平面上の点P1（原点ではない）を考えます。
また、↑OQ=α↑OP1なる点Qも考えます。
ｆ(P1)=P2とした場合に、
先の議論で、↑QP2≠↑0（…*）を満たす点P1が存在することを述べましたが、ここで想定する点P1はこの性質を満たすものとします。
また、*で示されるベクトルが行列Aの固有ベクトルに他なりませんが、この一つを↑ORとします。
*の性質から、↑OP1と↑ORは一次独立である点に注意してください。またA≠αEであることこから、↑OP1と↑ORが一次独立であれば、*が満たされることにも留意しましょう。
これで準備完了です。
↑QP2と↑ORが平行である（…★)ことを念頭において以下の場合分けを図示しましょう。

α=0の場合、
Qは原点ですから、点P1は一次変換ｆによって直線OR上に落ちてきます（∵★)。
また、α=0であるから直線OR上の点は全て一次変換ｆによって原点に移ります。
このことから、不動直線は存在しないことがわかります。

α=1の場合、
P1=Qであるから★により、平面上の全ての点は、一次変換ｆにより、直線ORと平行に移動します。
またα=1であるから、直線OR上の点は一次変換ｆによって全て不動。
このことから、直線ORに平行な直線は全て不動直線であることがわかります。

αが0でも1でもない場合、
↑P1P2と↑ORは平行とはなり得ないので、原点を通らない不動直線は存在しない。不動直線は直線ORのみということになる。

以上、議論が粗い為、わかりにくいかもしれませんが、図示して頑張って読んでください。。。

この回答へのお礼

再度の大変詳しいご回答どうもありがとうございます！

>Qは原点ですから、点P1は一次変換ｆによって直線OR上に落ちてきます（∵★)。
こうゆう図形的な見方がまさに私が知りたかったことです。
大変よく分りました。
この度は本当にどうもありがとうございました。

お礼日時：2009/05/20 08:00

No.3 回答者： hesaid 回答日時： 2009/04/29 23:34

A=αEの場合は、問題なくわかりますね。

A≠αEの場合、
(A-αE)↑x≠↑0を満たす↑x（≠↑0）が存在するが、
このような(A-αE)↑xこそが固有ベクトルに他ならない。
（∵(A-αE)(A-αE)=O）
これを踏まえて、
α=0の場合・・・
α=1の場合・・・
そのいずれでもない場合・・・
の3通りを図示して考えれば、判りやすいと思います。

この回答へのお礼

お礼が遅くなりましてすみませんでした。

ずっと考えていましてようやく計算してできました・・・。
ご提示のやり方は異なる２解を持つ時と重解の時で場合分けせずに
できるとても良い方法ですね。

私は
不動直線上の点を↑pとし
Ａ↑pー↑p＝(AーαＥ)↑ｐ＋(αー１)↑ｐ
これがαの固有ベクトルと平行になるのは
『(αー１)↑ｐ』が0か固有ベクトルと平行になること
としたのですが、
この方法ですと図形的な意味合いというのはよく分りませんでした。

＞3通りを図示して考えれば、判りやすいと思います。

とのことですが、重解の場合も図形的に解釈することはできるのでしょうか？

時間が大分経ってしまったので、見てらっしゃらないかもしれませんが、もしお時間がありましたらよろしくお願い致します。

お礼日時：2009/05/16 10:01

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/04/29 10:13

>(ⅲ)固有値がα、β＝１の時

>　不動直線は存在しない。

なぜか結論が重解になってないですか？
固有値が異なる場合は、その固有ベクトル u, v がベクトル空間の基底になるので、もっとシンプルな解答にできるはずです。

この回答への補足

ご回答どうもありがとうございます。

>(ⅲ)固有値がα、β＝１の時
>　不動直線は存在しない。

こちらに関しましては
No.1のお礼の欄の訂正をご覧ください。
『(ⅰ)固有値がα≠0、β＝1の時
　傾き<u>の任意の直線
(ⅱ)固有値がα≠0、β≠1の時
　ν＝0なので、傾き<u>の原点を通る直線
(ⅲ)固有値がα＝0の時
　　傾き<u>の不動直線は存在しない。』
もちろん固有値が重解の場合を除いた解です。

基底については勉強不足であまりよく分らないのですが、
よろしければそのシンプルな解答を教えて頂けないでしょうか？
簡単な方針のみでも結構です。
よろしくお願いします。

補足日時：2009/04/29 10:47

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/04/27 22:29

>勉強のためにいろいろな方針、解法を募集しますので

募集する前に自分で考えて下さい。

固有値が重解でない場合は教科書に載っていたんですね？
その解法と、固有値が重解の場合にどこで行き詰まるかを補足にどうぞ。

この回答への補足

補足要求どうもありがとうございます。
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参考書に載っていた方法は
行列Aの異なる2つの固有値をα、βとし、それに対応するそれぞれの
固有ベクトルを<u>,<v>とします。
不動直線を<l>＝<p>+t<w>とすると、その像はA<l>＝A<p>+tA<w>。
ここでA<w>が<w>と平行であることが必要なので
A<w>＝s<w>とおけ、これはsがAの固有値、
<w>がその固有ベクトルであることに他ならない。
∴Aによる不動直線の傾きは固有ベクトル<u>,<v>に限定される。
ここでは<u>に平行な不動直線を求めます。
α＝0の時A<l>＝A<p>+tA<u>＝A<p>となるので不適。
α≠0の時
不動直線上の任意の点をpとした時に点「Apーp」が<u>に平行であることが必要十分。
ここで<u>,<v>が一次独立である事を利用すると・・・（※）
不動直線上の任意の点pは「p＝λ<u>+ν<v>」とおけ、
pの行列Aによる像Apは「Ap＝λα<u>+νβ<v>」となるので、
「Apーp＝λ(α－1)<u>+ν(β－1)β<v>」
したがって傾き<u>の不動直線は
(ⅰ)固有値がα≠0,1、β＝1の時
　傾き<u>の任意の直線
(ⅱ)固有値がα≠0,1、β≠1の時
　ν＝0なので、傾き<u>の原点を通る直線
(ⅲ)固有値がα、β＝１の時
　不動直線は存在しない。
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この方法はとても鮮やかだと思うのですが、
肝心の部分

『ここで<u>,<v>が一次独立である事を利用すると・・・（※）
不動直線上の任意の点pは「p＝λ<u>+ν<v>」とおけ、』

が固有値が重解である時に使えません。
固有値が重解の時にこの部分をいったいどのように処理すればよいかが
分からずに困っております。

よろしくお願い致します。

補足日時：2009/04/28 06:51

この回答へのお礼

すみません。

補足の解答の訂正です。
(ⅰ)固有値がα≠0、β＝1の時
　傾き<u>の任意の直線
(ⅱ)固有値がα≠0、β≠1の時
　ν＝0なので、傾き<u>の原点を通る直線
(ⅲ)固有値がα＝0の時
　　傾き<u>の不動直線は存在しない。
　

お礼日時：2009/04/28 08:18