数学に関する英文

Question

If X is a set and if ζ is a family of subsets of X that is closed under complementation, then X belongs to ζ if and only if Φ belongs to ζ.

という文章の後半部分のif and only if あたりの構造がよくわかりません。if and only if というのは熟語ですか？
前半部分のみ、訳してみました。意味不明になってしまいましたが。

もしXが一つの集合であり、そしてもしζが補集合のもとに閉じているXの部分集合のひとつの集合族であるのであれば、、、

ddeana · Accepted Answer

久しぶりに数学のノート(英語）を見直しました(笑）
>if and only if というのは熟語ですか？
数学などでよく使われる決まり文句で、「もし何々の場合にのみ」という意味です。英語ではequivalenceと同意語のように使われます。
http://ja.wiktionary.org/wiki/if_and_only_if

後半部分を訳するとこうなります。
「X はΦが ζに属している場合にのみ、ζに属する」
つまり、X＝ζと定義する為の必須条件はΦ＝ζであるということになります。
前半では、X＝a set, ζ=分布においてXを形成するために必要なsubset(大きな集合を形作る部分集合）のひとつとなってますよね。大きな円（X)とその中に入るであろう小さな円（ζ）を想像してみてください。
この小さな円が大きな円の一部だと定義する為には（X＝ζ）、小さな円であるζがΦと同じ集合体であるという前提が必要なのです。ご質問の文では、XとΦとの関係性がわかりませんが、こういうことかと思います。

litsa1234 · Answer

>If X is a set and if ζ is a family of subsets of X that is closed under complementation, then X belongs to ζ if and only if Φ belongs to ζ.
（訳例）
「Xが集合であり、ζがXの部分集合族で補集合演算において閉じているとするならば、集合Xが集合ζに属するということと空集合Φが集合ζに属するということは同値である。」

（説明）これはおまけです。（LOL）
簡単な例を示します。
集合X={1, 2, 3}
Xの部分集合族ζ={(1), (2), (3), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 2, 3)}
とします。ここで部分集合(1, 2, 3)の補集合を求める演算（つまり補集合演算）をします。結果は空集合Φですね。ところがこの空集合Φは集合ζの元（要素）ではありませんね。このような場合を、ある演算に対して「閉じていない」と呼びます。補集合演算で「閉じている」という条件を満たすためにはXの部分集合族ζがその元（要素）として空集合Φを含んでいなければならないということになりますね。
以上、説明終了。
集合論の日本語の解説はネット上にいくらでもありますので詳細はそれをご覧になることをお勧めします。

参考になれば幸いです。

fruchan · Answer

先ず用紙に円を描いて下さい。
その円の直径に合わせて正方形を描いて下さい。

１）X＝集合体＝円
２）円を四分割すると、
1/4=(a subset)  4/4＝(a family of subsets)＝X(a set)＝ζ
３） complementation=universe=全集合
正方形＝closed under complementation=円は四角の中に閉じ込めらている＝普遍集合　
４）Φ = 正方形と円に出来る交わらない4隅の空間

belong = is part of
 if Φ belongs to ζ.
四隅がζの部分(属すると）であればそれは四角の正方形になり
円は正方形の部分(属す）になる。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/ブール論理

purunu · Answer

if and only if は必要十分条件を記述する、数学・論理学などで用いられる「熟語」です。さらに専門書では iff という表現も用いられます。

wathavy · Answer

この文だけからだと、間違えそうです。φに関する文はありませんか？

info22 · Answer

～と仮定すれば、「Φがζ属す場合で、かつその場合のみ」Xはζに属す。

といったような意味かと思います。

数学に関する英文

久しぶりに数学のノート(英語）を見直しました(笑）

>If X is a set and if ζ is a family of subsets of X that is closed under complementation, then X belongs to ζ if and only if Φ belongs to ζ.

先ず用紙に円を描いて下さい。

if and only if は必要十分条件を記述する、数学・論理学などで用いられる「熟語」です。

この文だけからだと、間違えそうです。

この回答への補足

～と仮定すれば、「Φがζ属す場合で、かつその場合のみ」Xはζに属す。

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