大学の離散数学の問題で、
「3^n + 7^n は8で割ると2余る」ということを数学的帰納法で証明せよ
という問題があるのですが、うまく証明できず困っています。
n = kで成り立つとするときに、仮定の式をどのように立てるべきなのか、そもそもピンときません。
3^k + 7^k = 8*a + 2と置いてみて、3^(k+1) + 7^(k+1)を同じような形に変形しようと試みたり、
7^k = (6 + 1)^k のようにしてみて変形しようとしたりしたのですが、どれもうまくいかず・・・。
丸投げをするつもりはないので、解法のヒントをいただけるとありがたいです。
よろしくお願いいたします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
あなたの言うとおりに
3^k+7^k=8a+2
とおいてみました。このとき3^(k+1)+7^(k+1)が8の倍数+2になっていることを確認できればいいのですね。
3^(k+1)+7^(k+1)
当然のようにk乗の形にしてみる
=3*3^k+7*7^k
仮定を使ってみる
=3*3^k+7*(8a+2-3^k)
8の倍数+2と分かる部分を括りだしてみる。
=8*(7a+2)+2+4*(3^k-1)
ここまでくれば簡単です。
早速の回答ありがとうございました。
自分の仮定でできたなんて・・・お恥ずかしい限りです。
おっしゃる式変形、自分でもやってみました。
No.2の回答者様のヒントもあって、無事にできそうです。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
>3^k + 7^k = 8*a + 2と置いてみて
これでいいと思います。
後は
3^(k+1)+7^(k+1) = 3*3^k+7*7^k = 3*3^k+3*7^k+4*7^k = 3(3^k+7^k)+4*7^k
とでも変形。
()中を置き換えてさらにゴリゴリと変形。4*偶数が8の倍数であることを利用する。
No.1の方と式変形が違ったので、2通りともやってみました。
どちらも最終的には同じ形になりました。
>4*偶数が8の倍数であることを利用する
これにはまったく気づきませんでした。
ありがとうございました。
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