自然数と整数はどちらが多いのか

自然数と整数はどちらが多いのか

答え：その１
自然数も整数も無限にあるので、「どちらが多いとは言えない」。

答え：その２
すべての自然数とすべての整数でペアを作っていけるので、答えは「同じ数」

答え：その３
数直線上、もしくは領域図上において、自然数の領域は整数の領域の一部であるから、「整数の方が多い」

答えを自分なりに３つ考えたのですが、この中に正解はありますか？
また、ないとしたら、答えは何ですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/08/15 15:07

無限の数え方は、通常の数え方とは違ってきます。

ここでいう通常の数え方は、1個、2個・・・という数え方です。

無限にあるものの多い少ないを扱うときには、「1対1対応するかしないか」という考え方をします。
先の方の回答でも「濃度」や「単射」という言葉がありましたが、
平たく言えばこれは1対1に対応するかどうかということを表しています。

たとえば、10000個の白玉と10001個の赤玉の数を比較するとき、
白玉と赤玉を1対1（1個対1個）ずつ対応づけていくと、最後には赤玉が1個余ります。
これと同じようなことを自然数や整数に対しておこなうのです。

昔、高校の時に「無限大は数ではなく、非常に大きいという状態を表しているだけ」と教わったことがあります。
無限を扱うときには、通常の数とは違うと意識しないといけないと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
とてもよくわかりました。
となると、答えその２が一番近いと言うことですね。
あと、無限は「数」ではなく「状態」というのも、とても納得です。

お礼日時：2009/08/15 15:28

No.6 回答者： KonnaMonde 回答日時： 2009/08/17 04:58

数「０」が導入 (発明) される以前は、加法と減法の一部 (差が１以上の場合) が数として扱えるものでした。

　この時の数は自然数のみ。

加法の逆算を可能とするために０が導入され、更に、０から１を引いた数、その数から１を引いた数…　つまり、負数を導入することにより減法が完成しました。

加法の特別な形の累加を計算するために考え出されたのが、乗法です。　乗法の逆算を可能にするために導入されたのが、分数、小数… などです。

これらの導入で、飛び飛びであった数の間が、細かく表現できるようになり、数直線として表現できるようになりました。　(厳密にいえば間隔をどんなに細かくしても飛び飛びであることには変わりません)

ここで、端数のない数のみを整数と呼ぶようになりました。
自然数は、本来１以上の端数のない数でしたので、後から呼称するようになった正の整数と同じものであることは明らかです。

また、無限大は数としては扱えないので "かず" の内には入りません。

>「すべての自然数の集合」「すべての整数の集合」という意味でこの問題を考えるとどうなりますか？

自然数と正の整数とは同じもので、ただ呼び名が違うだけ (１対１で対比したものではない) なので "かず" として比較すること自体無意味なこと、たとえ、集合体としても同じことです。

また、負の整数はあるのに対して、負の自然数はあり得ない事だけを考えても分かること。
どうしても "かず" を比較するのであれば、単純に考えても、正の整数と負の整数は数直線上において０を中心として対象であるので、整数は自然数の２倍 － １(０を自然数に含んだ場合)、あるいは整数は自然数の２倍 ＋ １(０を自然数に含まない場合) であることは自明のこと。

>中学の数学の先生に聞いたら、その２の回答だったのですが

この先生は、正の整数と自然数との比較の答えを言っただけです。　
負の整数についてはその場の状況で無視したか、考えないという条件を付けたかのどちらかだと考察されます。

また、実数 (有理数（整数より"かず"は多い）、無理数（無限個あり "かず" では比較できない）などであり、整数だけではない)、複素数などの言葉も出てきてますが、整数と自然数を語るときには無用の言葉です。

この回答へのお礼

私の中で、「その２」が答えとして固まりつつあったのですが
これを読むと、「その３」も正解と言える気がしてきました。

一対一で対応させていけば、同じになるけど
自然数にあとから負の数の整数をくっつけたから、と考えると成立過程において整数の方が“後から加えた分だけ”多い、と言えるのですね。
おお～！

お礼日時：2009/08/17 06:23

No.5 回答者： nag0720 回答日時： 2009/08/15 18:26

濃度という考え方で言えば２が正解ですが、余談を・・・

それでは、

・自然数と有理数（分子分母が整数の分数で表現できる数）はどちらが多い？

・自然数と実数（数直線上の全ての数）はどちらが多い？
（厳密に言うと実数の定義は難しいのですが、とりあえず全ての数ということで）


答えは、「有理数は自然数は同じ」、「実数は自然数より多い」です。
証明は中学生レベルでも理解できると思いますので、調べてみてください。

この回答へのお礼

自然数と有理数は、１対１での対応が可能なので、「同じ」
そう考えると、自然数と実数も１対１対応ができそうですが
これはできないんですか？？？
ペアは複素数で組むから、それで足りなくなるとか？？

お礼日時：2009/08/15 19:37

No.3 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/08/15 13:58

「個数が多い」というのをどう定義するかによって変わってくると思います。

> 答えを自分なりに３つ考えたのですが、この中に正解はありますか？
> また、ないとしたら、答えは何ですか？

考え方によっては、3つとも正しいと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
そうですよね
何を持ってして「多い」となすか…
私自身も「多い」を定義できずにいます…

お礼日時：2009/08/15 14:33

No.2 回答者： KonnaMonde 回答日時： 2009/08/15 13:51

>自然数と整数はどちらが多いのか

正解は ：その３

これらは定義の問題で比べるものではないのです。　
自然数は、1つ２つと数えられる数
整数は、自然数の減法 (引き算) が出来るように拡張したもので、「0」および「負の整数」を自然数に追加したものです。

したがって、数の多い少ないだけでいえば「その３」ですが、整数は自然数の後から考えだされたもので、厳密にいえば、「答え：その３」も間違っているともいえます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど、自然数が先に生まれ、後に整数が誕生したのですね。
では、「自然数」「整数」といった言葉をとりはらい
つまり、それぞれの数の生まれながらにしてもつ意味を無視し、
「すべての自然数の集合」「すべての整数の集合」という意味でこの問題を考えるとどうなりますか？

お礼日時：2009/08/15 14:31

No.1 回答者： noname#96505 回答日時： 2009/08/15 13:46

まさにその2が正しいです。

これは集合の濃度の問題です。
自然数と整数の間に全単射が存在すれば濃度が同じになるので
その２の意味していることと全く同じです

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
中学の数学の先生に聞いたら、その２の回答だったのですが、
よく意味が分かりませんでした。
ですが、「全単射」という用語は初めて聞きました。
これを先生が言っていたのかもしれません。
中学生の時はこれで納得していたのですが、高校で領域を図で表すようになると、面積的にどう考えても整数の方が広いような気がして、考えが揺らいできました。

お礼日時：2009/08/15 14:29