平面と楕円体との距離の最小値を求めたいのですが・・・・

平面ax＋by＋cz＝d
と
楕円体x^2/16＋y^2/4＋z^2＝1
について、

平面と楕円体の距離が最小となる時の楕円体上の点の座標を求めよ
というものです。

初めにラグランジュの乗数法を用いて解こうとしましたが混乱してしまいました。
求める座標をx,y,zとして

(x-X)^2＋(y-Y)^2＋(z-Z)^2-λ(x^2/16＋y^2/4＋z^2-1)＝0
（ただしX,Y,ZはaX＋bY＋cZ＝dを満たすもの）

から、x,y,z,λで偏微分して連立しようとしました。
平面ではなく点なら簡単だったのですが、こういう場合はどうやって
x,y,zが求まるのでしょうか。それとも他に簡単な解法があるのでしょうか。もしありましたら教えていただけないでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2009/12/17 21:01

楕円体x^2/16＋y^2/4＋z^2＝1 上の点(p,q,r)での接平面の式は、

px/16＋qy/4＋rz＝1

この接平面と平面ax＋by＋cz＝dとが平行になるとき、平面と楕円体の距離が最小になります。

よって、
p^2/16＋q^2/4＋r^2＝1
p/a=q/b=r/c
の連立方程式から、p,q,rを求めます。

ただし、解は２つあるので、どちらの点の距離が小さいかを決める必要があります。