【問題】「xyz空間内にA(1,2,3),B(2,3,2),C(1,4,-1)を取る。点Cの直線ABに関する対称点Dの座標を求めよ。」
この問題は正射影を利用して解けるみたいなのですが、どのようにすればいいのか分かりません。
http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa5131555.html
正射影を使った解き方を方針だけでもよいので教えてください。
よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>正射影を用いた解法はないでしょうか?
正射影というか、もっと狭く内積を用いた解法ということですかね。
内積を使うと、#1の点Tは、
AT↑ = (AB↑・AC↑) / |AB|^2 × AB↑ … (1)
と直接求まります。
したがって、対称な点Dは、
AD↑ = AC↑ + 2(AT↑- AC↑)
= 2(AB↑・AC↑) / |AB|^2 × AB↑ - AC↑ … (2)
です。
(1)なんですが、説明するのは図がないとなかなか難しいんですが、
1. AB方向の単位ベクトルb↑は、b↑ = AB↑/|AB| と書ける
2. AT↑ = |AC|cosθ×b↑ と書ける。ただし、θはAB↑とAC↑とのなす角
3. AB↑・AC↑ = |AB||AC|cosθ (内積の性質)
なんかを考えると出てきます。
ご回答どうもありがとうございます!
点Aを始点に考えればよかったのですね。
大変よく分かりました。
どうもありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
#1 の T が正射影なんだけど....
No.1
- 回答日時:
直線ABは、2点C, Dの垂直二等分線になります。
直線ABはベクトルの形で与えることになるので(方向ベクトルを考えることからも)、
ベクトルで考えてみましょう。
直線AB上の点Tは、OT↑= OA↑+ t* AB↑(tは実数)と表されます。
直線ABと直線CDは直交するので、その交点を求めます。
CT↑⊥AB↑より、tの値そして CT↑が求まります。
CT= DTであることから、CT↑= TD↑となります。
よって、求めるDの座標は OD↑= OC↑+ 2* CTとして求まります。
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