ピストン内における球の運動の問題がわかりません。

質量Mのピストンがついた、垂直状態にあるシリンダー内で、n個(>>1)の球が、ピストンとシリンダーの底の間で、弾性的に衝突し、とび跳ねる。
系は釣り合いの状態にある。底からのピストンの高さはh。
ピストンを、勢いよく抜き取ると、球はどれだけの高さまで飛び上がるか。
シリンダーの壁と、ピストン間の摩擦と気圧は無視する。

という問題が解けません。
解法をよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/01/23 10:42

分子運動のモデルですね。

球どうしの衝突は考えなくてよいのだと解釈します。

球の質量をm，ピストン位置における速度の鉛直成分の大きさをvとします。弾性衝突ですからつりあいの状態においてvは保存されます（摩擦なし，はねかえり係数１）。

球がピストンに衝突すると，2mvの力積を及ぼします。ピストンが受ける球1個当たりの平均の力をf，時間をtとして　ft = 2mv。この球が次の衝突までにhを往復しますから，

h = vt/2 + 1/2・g(t/2)^2

これをtについて解いて　t = 2v/g・{-1+√(1+2gh/v^2)}

∴　f = 2mv/t = mg/{-1+√(1+2gh/v^2)}

となります。シリンダ内の球n個が衝突によってピストンに及ぼす力が，重力とつりあっていますから，

nf = Mg 　∴　nmg/{-1+√(1+2gh/v^2)} = Mg

これをv^2について解くと

v^2 = 2M^2gh/{nm(2M+nm)}

ピストンを抜いたとき，vを初速度として鉛直投げ上げとなりますから，最高点のピストン位置からの高さは，

H = v^2/(2g) = M^2h/{nm(2M+nm)}

となると思います。底面からの高さはh+Hです。まだしっかりチェックしていないので，計算ちがいがあるかもしれません。

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/01/23 11:20

訂正です。

vを初速度として鉛直投げ上げ

　→　vを初速度の鉛直上むき成分として，ピストン位置から投げ上げ