数学の問題

αは0≦α≦πを満たす実数の定数とする。関数
f(x)＝cosx＋cos(x+α）＋cos(x+2α）が任意のｘに対して一定の値ｃを取るときｃとαを求める問題なのですがどのようにやればいいのでしょうか？

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/08 20:23

和積公式で展開した式のsin(x)の係数およびcoa(x)の係数が同時にゼロになるようなαを求めれば、xに関せずf(x)が一定の値をとります。

sin(x)の係数がゼロから
sin(α)+sin(2α)=0
cos(x)の係数がゼロから
　1+cos(α)+cos(2α)=0
これらの2つの式を満たす0≦α≦πを満たすαを単位円を使って求めれば良い。
　その結果、α=2π/3[rad]が求まる。

No.2 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2010/02/08 20:28

どんなxを代入してもf(x)=cになるんだから、

例えばx=0を代入して
　　f(0) = cos(0)+cos(α)+cos(2α) = c
　　1+cos(α)+cos(2α) = c
例えばx=πを代入して
　　f(π) = cos(π)+cos(π+α)+cos(π+2α) = c
　　-1-cos(α)-cos(2α) = c

これらを合わせて
　　1+cos(α)+cos(2α) = -1-cos(α)-cos(2α)
倍角の公式よりcos(2α)=2(cos(α))^2-1を代入して整理すればcos(α)についての2次方程式になる。
それを解けばαが分かる、αが分かればcもわかる。

No.3 回答者： f272 回答日時： 2010/02/08 20:31

微分してf'(x)=-sin(x)-sin(x+α)-sin(x+2α)=0からやるのが簡単だと思う。

第１項と第３項をまとめて
2sin(x+α)cos(α)+sin(x+α)=0
これからcos(α)=-1/2

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/08 20:54

三角関数について覚えておくべきことは、

加法定理だけです。

f(x)= の右辺を加法定理を使って展開し、
cos x と sin x の係数が共に 0 になるように
α を決めればよい。