バケツに入る水の深さが知りたい

高さ（Ｈ）　口径（Ｄ）　底の径（ｄ）のバケツ（円錐台）に
満タンではなく、ある量の水を入れた場合の
水の深さ（Ｘ）を求める式を教えてください。
例えば、満タンで４０L入るバケツに２５Ｌ入れる場合の
水の深さが何ｃｍになるのか　という算出式を知りたいのですが。

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/12 20:00

D,dを直径とし、水の深さXとその時の水の体積Vとの関係を求めると

V={πX/(12H^2)}{3(dH)^2+3dHDX-3HXd^2+(XD)^2-2dDX^2+(dX)^2)}
これをXについて解くと
X=[H^(2/3){Hd^3+(12V/π)(D-d)}^(1/3)-dH]/(D-d)　…（◆）
となる。
V=40[L}=4000[cm^3]の時X=Hなので
H=[{(Hd)^3+(48000H^2/π)(D-d)}^(1/3)-dH]/(D-d)　…（●）
という関係がある。

質問者さんが与えた条件から分かることは、（◆）の式に（●）の条件式
と V=25[L]=2500[cm^2]…（▼）を与えてXが求まるかですね。
(◆）の式の右辺には未知数が3個含まれています。
これに（▼）と（●）の条件からXが求まるかですね。
ひとつの条件式が与えられるなら、Xが求まります。

条件が足りないので、バケツの直径比「D/d」またはバケツの高さ「H」のいずれかが与えられないと、Xは確定しませんので求められませんね。

No.4 回答者： hugen 回答日時： 2010/02/12 19:59

d'*H/(D'-d')=h　→　V(X)=Vo*{{1+X/h]}^3-1}

40=Vo*{(1+H/h)^3-1}
25=Vo*{(1+X/h)^3-1}
---------------------------
40/25={(1+H/h)^3-1}/{(1+X/h)^3-1}
(1+X/h)^3-1=25/40*{(1+H/h)^3-1}
(1+X/h)^3=1+25/40*{(1+H/h)^3-1}

No.3 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/02/12 19:42

　この円錐台の側面をバケツの底方向に延長すると円錐になりますが、この円錐は

（１）底面の直径＝ｄの円錐
（２）バケツ（満水）
を合わせたものになります。（１）の円錐の高さをＨ０、体積をＶ０、バケツ中の水の量をｖ、深さをＸとすると、
（Ｖ０＋ｖ）／Ｖ０∝（（Ｈ０＋Ｘ）／Ｈ０）＾３
になるのではないでしょうか？Ｈ０、Ｖ０はＨ、Ｄ、ｈから求められますよね？

No.2 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/02/12 18:11

底から高さ x の部分のバケツの半径を r(x) として添付図のように求められます。

V は水の体積です。(D, d は両方とも直径であるとして考えています。)

積分を実行すると、右辺は X の3次式になります。したがって、問題は、V, H, D, dを係数とする X の3次方程式を解くということになります。一般解を書き下すことは可能なのですが、結構大変です。

続きに興味があれば、「3次方程式 一般解」で検索すると出てくる一般解の式に、添付図の積分の実行結果を当てはめて計算してみてください。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2010/02/12 17:46

こんばんは。

「径」は、半径ではなく直径ということでよろしいですね？

体積　＝　底面積　×　深さ
ですが、円錐台とのことですので、
体積　＝　∫[X=0⇒深さ]断面積をＸで表した式・ｄＸ
となります。

まず、色々な深さにおける径Ｒは、深さＸを用いた一次関数で表せます。
Ｒ　＝　ａＸ　＋　ｂ

Ｘ＝０　のとき　Ｒ＝ｄ　なので　ｂ＝ｄ
Ｘ＝Ｈ　のとき　Ｒ＝Ｄ　なので　Ｄ＝ａＨ＋ｄ　より　ａ＝（Ｄ－ｄ）／Ｈ

よって、
Ｒ　＝　（Ｄ－ｄ）／Ｈ・Ｘ　＋　ｄ
です。

バケツを輪切りにして考えると、
円盤の面積は、πＲ^2／４　です。
ですから、円盤の体積は、πＲ^2／４・ｄＸ　です。

体積　＝　∫[X=0⇒深さ]断面積をＸで表した式・ｄＸ
　＝　∫[X=0⇒深さ]πＲ^2／４・ｄＸ
　＝　∫[X=0⇒深さ]π｛（Ｄ－ｄ）／Ｈ・Ｘ　＋　ｄ｝^2／４・ｄＸ
　＝　π／４・∫[X=0⇒深さ]｛（Ｄ－ｄ）／Ｈ・Ｘ　＋　ｄ｝^2・ｄＸ
　＝　π／４・∫[X=0⇒深さ]｛（Ｄ－ｄ）^2／Ｈ^2・Ｘ^2　＋　２（Ｄ－ｄ）ｄ／Ｈ・Ｘ　＋　ｄ^2｝ｄＸ
　＝　π／４・∫[X=0⇒深さ]｛（Ｄ－ｄ）^2／Ｈ^2・Ｘ^2｝ｄＸ　＋　π／４・∫[X=0⇒深さ]｛２（Ｄ－ｄ）ｄ／Ｈ・Ｘ｝ｄＸ　＋　π／４・∫[X=0⇒深さ]ｄ^2ｄＸ
　＝　π／４・（Ｄ－ｄ）^2／Ｈ^2・∫[X=0⇒深さ]Ｘ^2ｄＸ　＋　π／４・２（Ｄ－ｄ）ｄ／Ｈ・∫[X=0⇒深さ]ＸｄＸ　＋　π／４・ｄ^2・∫[X=0⇒深さ]１ｄＸ
　＝　π／４・（Ｄ－ｄ）^2／Ｈ^2・［Ｘ^3／３］[X=0⇒深さ]　＋　π／４・２（Ｄ－ｄ）ｄ／Ｈ・［Ｘ^2／２］[X=0⇒深さ]　＋　π／４・ｄ^2・［Ｘ］[X=0⇒深さ]
　＝　π／４・（Ｄ－ｄ）^2／Ｈ^2・深さ^3／３　＋　π／４・２（Ｄ－ｄ）ｄ／Ｈ・深さ^2／２　＋　π／４・ｄ^2・深さ
　＝　π・｛１／１２・（Ｄ－ｄ）^2／Ｈ^2・深さ^3　＋　１／２・（Ｄ－ｄ）ｄ／Ｈ・深さ^2／２　＋　１／４・ｄ^2・深さ｝
（　＝　体積　）

というわけで、深さから体積を求めるのは、代入するだけなので簡単ですが、
逆に、体積から深さを数学的に求めるのは大変そうです。
私だったら、色々な深さでの体積をエクセルなどで求めて、早見表を作っちゃいます。
簡単ですから。