nΣk=1 k(k+1)=1/3n(n-1)(n+2)

が理解出来ません。
k(k+1)=1/3(Tk+1-Tk)までは理解出来ますが…

Σkは　1/2n(n+1)です。
Σk(k+1)= 1/2n(n+1){1/2n(n+2)}では無いのですか？
1/2は…一体どこへ？？？

No.5 ベストアンサー 回答者： hugen 回答日時： 2010/02/19 15:56

k(k+1)*(k+2)-(k-1)*k(k+1)=3k(k+1)

---------------------------------
1*2*3-0*1*2=3*1*2
2*3*4-1*2*3=3*2*3
・・・・・・・・
n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=3n(n+1)
----------------------------------
n(n+1)(n+2)-0*1*2=Σ[k=1,n]3k(k+1)

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/20 00:46

(1/2)n(n+1)(1/2)n(n+2) が、

どういう勘違いから出てきたかは、
何となく想像できるような気もするのですが…
分配法則上そうはならないことは、
(a+b+c)(x+y+z) の括弧を展開してみれば
解りませんか？

Σ[k=1,n] k(k+1)…(k+m-1) = (1/(m+1))・n(n+1)…(n+m)
は、Σ 計算の基本公式です。
n(n+1)…(n+m) の階差を求めれば証明できますから、
証明も含めて知っておくとよいて思います。
Σk~m などに比べ、m について規則性があり、
公式として覚え易く使い易いです。

例えば、Σk~2 なども、この公式を使って
Σk(k+1) - Σk から求めると
見通しがよい。

No.6 回答者： kenjoko 回答日時： 2010/02/19 17:50

nΣk=1 k(k+1)=1/3n(n-1)(n+2) は

[k = 1、n]Σk(k+1) = (1/3)n(n-1)(n+2)　ということでよろしいでしょうか？

　　　k(k+1) = k^2+k

[k = 1、n]Σ(k^2+k)

= (1/6)n(n+1)(2n+1) +(1/2)n(n+1)　

= (1/6)n(n+1){(2n+1)+3}

= (1/6)n(n+1)((2n+4)

= (1/3)n(n+1)(n+2)

　　　　　やはり、(n-1)　は出てきません。

No.4 回答者： haragyatei 回答日時： 2010/02/19 15:48

間違えました。

結果は
1/3n(n+1)(n+2)
と思います。n-1は出てきません。

No.3 回答者： haragyatei 回答日時： 2010/02/19 15:41

結果は

1/3n(n+1)(2n+1)
だろうと思います。

No.2 回答者： haragyatei 回答日時： 2010/02/19 15:37

Σk^2=1/6n(n+1)

Σk=1/2n(n+1)
なので両方を足して整理すると結果の通り出てきます。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/02/19 15:35

....

nΣk=1 k(k+1)=1/3n(n-1)(n+2)
も違うし
Σk(k+1)= 1/2n(n+1){1/2n(n+2)}
も違う. どうしてこうなると思ったのでしょうか?
どっちも違うけどどっちかといえば上の方が近い?