数学 緊急です!!

一橋過去問2007（前期）より
画像の関数の中で、最大値１０５となるａを求める。

簡単に要点を。
みなさんがどのように解くのかわかりませんが、たぶんこの手の問題はワンパターンなので、僕のやった場合分けまで解き方が共通していると仮定します。

場合はａ＞０のときに限定します。
このとき、最大値となるｘの可能性は
ｘ＝０　or　２　のときしか考えられません。
なので、それぞれの場合で（ｙの値）＝１０５となるようなａを求める。（もちろんａ＞０を考える）
ちなみに答えはａ＝１０５で、答えは合うようになっています。

これが一番簡単な解法だと思います。
ただ、これでは必要十分を満たしていないような気がして・・・

もちろん最初のａ＞０は最後に考えていますが、
本当なら、ｙ＝ａとなる、ｘ＝０以外の解を求めて、ｘ＝２となるのはどっちか・・・
みたいなことをやらないといけないのかと思うのですが、
それだとちょっと面倒。
上述した、最大値となる可能性からａを求める。



これで論理に飛躍がないのか？かなり不安です。

数学なのに文字ばっかりで申し訳ないです。
是非簡単にアドバイスお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/19 22:44

a＞0 は、問題で与えられた条件なのでしょうか？

そうでないならば、a=0 や a＜0 の場合について、
そこに解が無いならば無いなりに言及
しておかなければならないと思います。

a＞0 の範囲でについては、
f(0)≦f(2)=105 or f(2)≦f(0)=105
を解いたのなら ok、
f(0)=105 or f(2)=105
だけを解いたのなら outです。
質問文からは、どちらか不明ですが、
どうなんでしょうか。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/19 23:16

待てよ、質問の主意を取り違ったかな？

f(2)＜f(0)=105 は、
f(2)＜f(0) かつ f(0)=105 という意味です。
これを解くのに、
f(2)＜f(0) を a の不等式として解く
必要は無いです。
f(0)=105 を先に解いて、
その a が f(2)＜f(0) を満たしている
ことを確認すれば、論理に欠陥はありません。

貴方の道順で ok、ただし
前述の如く、場合分けの全てに言及
しているかどうかには気をつけて。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/19 23:34

f'(x)=3x(x-2a)

a>0の場合、x≦2で最大値が105となる場合は以下の3通りしか可能性がない。

(1) x=0(<2)で最大となる場合
　f(0)=a=105,f(2)=8-12*105+105<f(0)
x=0で極大値f(0)=105、x=2a=210>2で極小値を取る
f(0)=105が最大値。a=105は条件を満たす。
(2) x=2で最大となる場合
　f(2)=8-11a=105, a=(8-105)/11<0で除外。
(3) x=2aで最大となる場合
　f(2a)=a(-4a^2+1)=105 これを解いてa=-3<0で除外。

以上からa>0,x≦2の条件下では、最大値が105となるのは、(1)のa=105
の場合だけと言える。

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2010/02/19 23:53

こんばんは。

まず、ｆを微分して、2種類の極値をとる時のｘを求めます。
ｆ（ｘ）＝　ｘ^3　－　３ａｘ^2　＋　ａ
ｆ’（ｘ）＝　３ｘ^2　－　６ａｘ　＝　３ｘ（ｘ－２ａ）
よって、ｆは、ｘ＝０　と　ｘ＝２ａ　で極値を取ります。
つまり極値は、
ｆ（０）＝　ａ
と
ｆ（２ａ）＝　（２ａ）^3　－　３ａ（２ａ）^3　＋　ａ　＝　－１６ａ^3　＋　ａ
の２種類です。

ここで、
どちらが極大値でどちらが極小値かを調べるため、ｆ（０）とｆ（２ａ）の大きさを比べます。
なぜかと言えば、ｆのグラフははるか左下からやってきて、はるか右上へ去っていくグラフだからです。

ａ　と　－１６ａ^3＋ａ　とを比べると・・・

Ａ：　ａ＜０　のときは、ｆ（０） ＞ ｆ（２ａ）　→ｆ（０）は極大値、ｆ（２ａ）は極小値
Ｂ：　ａ＝０　のときは、ｆは極値を取らない
Ｃ：　ａ＞０　のときは　ｆ（２ａ） ＞ ｆ（０）　→ｆ（２ａ）は極大値、ｆ（０）は極小値


Ａ　　ａ＜０
ｆが最大となるのは、
・ａ＜０　かつ　ｘ＝０　（＝ｆが極大の時のｘ）
・ａ＜０　かつ　ｘ＝２　　（＝グラフの右端）
のいずれか一方のとき。

Ｂ　　ａ＝０
ｆは単調増加になるので、ｆが最大となるのは、
・ａ＝０　かつ　ｘ＝２
のとき。

Ｃ　　ａ＞０
ｆが最大となるのは、
・ａ＞０　かつ　ｘ＝２ａ　　（＝ｆが極大の時のｘ）　←条件が合わないので除外
・ａ＞０　かつ　ｘ＝２　　（＝グラフの右端）
のいずれか一方のとき。

あとは、Ａ～Ｃの候補を一つひとつ試していけばよいと思います。

たぶん、こんな感じでやるのだと思いますが。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/20 00:14

答え全部書かないとダメなのかな？

そういうの、個人的に主義に反するのだけれど。

a=0 の場合は f(2)=105、
a＜0 の場合は f(2a)≦f(2)=105 or f(2)≦f(2a)=105
を満たす a があれば、それが解です。
それらの場合に解が無いことを含め、
言及のこと。