因数分解どっちが先?

因数分解をしていて、例えば、
（x＋1）（3x-1）
という回答があるとします。
自分で解いた答えは合っていると言えば合っているんです。
何故こんな言い方をするかと言うと、自分で解いた答えが、
（3x-1）（x＋1）
と言う風に順番が逆になっている時がたまにあります。
何か法則があるのか色々研究してみたんですが見当たらず、これは制作者の気まぐれなんですかね？
どちらの答えも結局は因数分解する前の式になるので×になる事は無いと思うんですが。
こんな馬鹿みたいな質問ですがよろしくお願いします。
答え合わせをしていると逆になっている事が多いので。

No.1 回答者： chitaniumu 回答日時： 2010/03/02 00:48

気まぐれです。

中学の先生が昔言っていました。

自分も昔同じ事を考え親に聞いてみました（一応親は早稲田）すると今まで気にしなかったから解らないと言っていてしかたなく数学の教師に聞いたのですが、その教師曰く問題を作っているところが自分で決めているそうです。

例えば、xに数字が付いているほうが先とかそんな感じで整理して載せるとか。

その教師が言っていることがあっているかは分かりませんが、間違いになった事はありませんから結局は気まぐれということでしょう。

No.2 回答者： camoes 回答日時： 2010/03/02 00:52

両方正解だからですよ

簡単に言うとＸＹ＝ＹＸが成り立つからです。
たとえば、この問題でいうと
（３ｘ－１）を仮に５と考えて(仮定)ください。そして（ｘ＋１）を３と考えてください。
５×３と３×５は同じですよね。つまり掛け算の順序は入れ替えても同じということです。
わかりましたか？
がんばってください！

No.3 回答者： camoes 回答日時： 2010/03/02 00:55

ちなみに

ＸＹ＝ＹＸという法則が教科書にあると思いますよ^^

No.4 回答者： noname#110045 回答日時： 2010/03/02 00:58

(x+1)(3x-1)というのは(x+1)×(3x-1)の略です。

数（複素数）ＡとＢがあった時、Ａ×Ｂ＝Ｂ×Ａが成り立ちます
たとえば５×３＝３×５＝１５となります。
これは積（×）の性質です。

つまり(x+1)(3x-1)=(x+1)×(3x-1)=(3x-1)×(x+1)=(3x-1)(x+1)
となるので、(x+1)(3x-1)=(3x-1)(x+1)となります。

どういう順番で書いても答えとしては正解です。

No.5 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/02 01:02

>これは制作者の気まぐれなんですかね？

そういえばそうかも知れません。

ある程度長くやっている経験者からすると、(ax+b )=0とするxの値（零点という）が
数直線の順に左から右の方に（負から正の方）並ぶような、因数の順に並べたくなるのかも知れません。
（x＋1)(3x-1）の場合は 「-1＜1/3」の順です。
（3x-1)(x＋1）とすると 「1/3＞-1」と逆順になってしまう。

もっと因数が増加すると
(x+4),(3x+2)(2x+1)x(x-1/2)(x-1)(x-2)
の順に並べると、零点が「-4<-2/3<-1/2<0<1/2<1<2」と数直線の順に
小さい方から大きい方に並ぶことになります。

まあ、どんな順に並べても正解だとは思いますが、中には規則的にきれいに並べないと気がすまない問題の作成者もいるかもしれない。
作成者の気まぐれや理屈で採点してほしくないですね。

No.6 回答者： camoes 回答日時： 2010/03/02 01:13

＞ei-ei-ei-さん

複素数ではないですよね？^^
この問題は積の性質で説明することが正しいです。

No.7 回答者： htms42 回答日時： 2010/03/02 07:57

どう書いても間違いではありません。

ただいくつかの因数がでてくるときには見やすい順番を意識することがあるということでしょう。
たとえば
ｘ^3－ｙ^3＝(ｘ－ｙ)(ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2)
次数の低い方を前に持ってきています。
後ろに書いたから間違いということではありません。
次数の順に並べる方が整理したという印象が強い、因数の数が多くなったときにはその方がいいということでしょう。
因数が同じ１次の場合ですが
私の場合は質問様の書いているような順番に書くことが多いです。
（ｘ＋１）の方が簡単な表現になっています。
＃５様のように解を数直線状に並べた時の順番というのもありでしょう。その２つが混ざってくる場合もあるでしょう。
私の場合は
ｘ(ｘ－１)(ｘ＋１)(２ｘ＋１)
の順番です。

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/02 09:00

積はどこから順に掛けても同じ結果になる

というのは、実数や複素数の…ひいては、
実数係数や複素係数多項式の重要な性質です。
ですから、その二つの答えに差がないことを
ちゃんと理解しておくことは、大切なことです。

しかし、中学校の先生等には、
指導方法に独特の拘りを持ち、
「授業のやり方と違うから×」を多発する
人も、よくいます。そういう先生は、
「本にこう書いてある」等と指摘しても、
「先々はそうだが、今はこうやって理解する
ことが大切」等と言って、ローカルルールを
押し付けてくるものです。

学内の定期テスト対策であれば、
授業のノートか友人に確認しておくほうが
無難かもしれません。

No.9 回答者： simotani 回答日時： 2010/03/02 09:21

規則としては、原則先ずｘについて降順に(次にｙｚと続く)。

同じ場合は数値の大きい方から。
連環となる場合等、より美しく見える方を優先する場合あり。

No.10 回答者： felicior 回答日時： 2010/03/02 15:12

馬鹿みたいな質問だとは思いません。

こういうのって解く人の性格や思考が表れて面白いと思います。

因数分解に目的がある場合、それに合わせて根（解）の順に並べ替える場合があるかもしれません。
しかし、単純にドリル的な因数分解の計算問題なら、そんなことに気を遣っている時間が
もったいないわけで、思いついた順がそのまま表れやすい傾向があると思います。
もっとも、コンピューター生成した問題・解答ならランダムにしてあるかもしれません。
しかし人為的にランダムにする人はいないでしょう。

私は何も考えずに解くと(x+a)(x+b)のタイプではab＜0の場合に正の方を先に書く癖があります。
これは例えばab＝-12ならa+b＝3-4または4-3と引き算で発想していることによります。
よって自動的に根の小さい順になります。
しかしab＞0のとき、掛けて12なら3+4＝4+3なので気まぐれです。
よって私の場合根の小さい順にならないこともしばしばあります。
人によっては絶対値の大きい順になっている人もいるんじゃないでしょうか。

x(x+a)のタイプの場合私はaの正負に関わらずこの順で書いています。
共通因数は定数か未知数かに関係なく何となく先に書いてしまいます。
(ax+b)(cx+d)のタイプの場合、いわゆるたすき掛けをするので特に法則性はないと思います。

ちょっと質問の意図から外れていたかもしれませんが、乗法の交換法則が保証されているからこそ、
殊に頻繁に使う因数分解においては美学的なこだわりよりもむしろ速く正確に解けるような
自分なりの「アルゴリズム」を確立することが大切だと思うのが私の意見です。ご参考までに。