No.7
- 回答日時:
整数係数であることは、決定的に重要ですね。
「モニックな多項式については」、
整数係数であれば、各根が有理数であることと
各根が整数であることは、同値な条件です。
そのことを間違いなく記述することができれば、
整数解を持つ⇒全ての解が整数 としてもよい。
高校範囲は超える気もしますが。
No.4
- 回答日時:
和と積が整数であっても、
α,β が整数だとは限りません。
3±√2 とか。
解のひとつが整数になる条件と、
解がふたつとも整数になる条件とは、
結果的には同じなのですが、
そのことは、証明するまでは使えませんから、
No.2 のように話をもってくのが安全でしょう。
No.3
- 回答日時:
幾つか解法は考えられるが、計算が面倒な解法だけは止めた方が良い。
x^2+(2m+5)x +(m+3)=0の2つの解をα、β (α≧β)とする。
解と係数から、α+β=-(2m+5)、αβ=m+3 ‥‥(1)
mは整数から、和も積も整数だから、αもβも整数。
(1)からmを消去すると、2αβ+α+β=1 → 4αβ+2α+2β=2
従って、(2α+1)*(2β+1)=3 。2α+1≧2β+1 であるから (2α+1、2β+1)=(3、1)、(-1、-3)。
この時、m=-1、-3.
No.2
- 回答日時:
素直に解の公式を使うと、
x={-2m-5±√(4m^2+16m+13)}/2 ・・・(*)
で、これの√の中は {2(m+2)^2}-3
2(m+2)は整数なので、これは整数の2乗(平方数)から3を引いたもの。
√の中も平方数になる必要がある。
平方数から3を引いたものが平方数になるのは、1の場合のみ。
よって {2(m+2)^2}-3=1
これからmの値を求めると m=-3、-1 ・・・★
これを(*)に代入すると xも整数になるので、★はいずれも適。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ヒントです。
判別式D
解が整数になるための条件は
D=N^2
を満たす整数Nが存在すること。
4m^2+16m+13=N^2
[{2(m+2)}^2]-N^2=3
[2(m+2)+N][2(m+2)-N]=3
これから,m=-1, -3 がでます
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