物理 斜面と棒の違い

力のつりあいの直角２方向とは？？

問１長さｌ、質量ｍの棒を滑らかな鉛直の壁に立てかける。床は粗く、静止摩擦係数をμとする。
角度θをじょじょに小さくしていくと、やがて棒は滑りだす。その直前の角をθとして、tanθを求めよ。

問２、問１で、鉛直な壁が滑らかでなく、棒と壁の間の静止摩擦係数がμ奪取とする（床ｔの間はμ）。この場合のtanθ０はいくらか。

棒が滑り始めるとき、Ａ点では下へ、Ｂ点では右へと同時に滑るから、その直前では、両点で最大摩擦力が図の向きに生じている
上下のつり合いより
Ｎ＋μ奪取Ｎ奪取＝ｍｇ・・・・・(1)
左右のつり合いより
μＮ＝Ｎ奪取・・・・(2)
(1)、(2)より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・以下省略

教えてほしいところ
・斜面の場合は斜面に対して垂直２方向に分解しますよね。
今回、棒は斜めなので、斜面のように、棒に対して垂直２方向に分解するべきなのでは？
・また、なぜ斜面は斜面に対して垂直に分解なんですか？？

難しい質問かと思います。誰か説明できる方がいましたら、是非教えて下さい

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2010/03/31 09:27

○力の分解について

力の釣り合いは
合力＝０
で決まります。
平行四辺形で全部の力を合成すればいいです。
平行四辺形による合成の代わりに成分に分けて成分ごとの和を求めてやっても同じです。
成分に分けて考える方が簡単な場合もあればそのまま合成した方が簡単な場合もあります。
成分に分ける場合の方向は任意です。でも簡単になるからような方向に分解するのでなければ何のためにやっているのか分からなくなります。重力が働いている場の中での釣り合いであれば重力の方向というのがすでに決まっています。この方向を基準にとるというのが素直です。
θが小さくなって棒が滑り始めたとします。棒のＡ端は壁に沿って動きます。Ｂ端は床に沿って動きます。

斜面の場合の釣り合いでも重力の方向を基準にとってかまいません。
（考えているのは「斜面に働く力の釣り合い」ではなくて「斜面の上にある物体に働いている力の釣り合い」です。）
でも釣り合いだけではなくて斜面に沿っての運動も合わせて考察の対象になる場合が多いです。斜面に沿っての運動であれば斜面に沿って働く力が必要になります。そうであれば初めから斜面に沿った方向を基準にとった分解をしておこうという立場が出てきます。
摩擦力も斜面に沿って働く力です。釣り合いだけではなくてい運動の場合にも関係してきます。
静止摩擦力で釣り合っているときには重力を基準にとり、釣り合いが破れて動き始めれば斜面方向を基準にとるというのではこんがらがります。

○おまけ
問１　釣り合っているときの摩擦力をＦとします。
鉛直方向、水平方向の釣り合いとモーメントの釣り合いの条件
Ｆ＝Ｎ’
Ｎ＝ｍｇ
Ｎ’ｓｉｎθ＝（ｍｇｃｏｓθ）／２
未知数の数はＮ，Ｆ，θの３つです。解くことができｍさす。
摩擦力は　Ｆ＝ｍｇ／(２ｔａｎθ）
角度θの範囲は
Ｆ＜μＮ＝μｍｇ　より
ｔａｎθ＞１／(２μ)
になります。範囲の端の値は初めからＦ＝μｍｇと置いた式を立てても出てきます。
２μ＝１であればθ＞４５°、２μ＝２＋√３であればθ＞１５°です。
μ→∞で　θ→０になります。

問２　同じように釣り合っているとして式を立ててみます。
Ｆ＝Ｎ’
Ｎ＋Ｆ’＝ｍｇ
Ｎ’ｓｉｎθ＋Ｆ’ｃｏｓθ＝（ｍｇｃｏｓθ）／２

未知数が１つ増えましたが式の数は変わりません。
Ｆ，Ｆ’はいくらであるかが決まりません。
したがって
Ｆ＜μＮ
Ｆ’＜μ’Ｎ’
の成り立つθの範囲を決めることもできません。
しかし釣り合っていればＦ，Ｆ'は決まっているはずです。
たぶん剛体の棒というモデルで考えていることに理由があるのでしょう。　

問２では
Ｆ＝μＮ
Ｆ’＝μ’Ｎ’
が同時に成り立っているとしています。
解くことができるようになります。
ｔａｎθ＝(１-μμ’)／(２μ)

しかし、初めから等号で考えた時の解が釣り合いが成り立っているとした時の解にどのようにつながっているかを知る手掛かりがありません。したがって床と壁で同時に静止最大摩擦が実現しているという前提の吟味もすることができないということになります。

μμ’＝１で　θ＝０という不思議な結果も吟味のしようがないということです。
（μμ’≧１であればどんな角度でも釣り合いが実現するということになります。）

普通、壁に摩擦のある場合を問う問題をみることはありません。
こういう事情があるからです。

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/03/30 21:09

力は任意の2方向への分解が可能なのですから，その方法は無限にあるのです。

そして，どういう2方向を選ぶかは，単に比較・計算のしやすさによって，そのつど自分で決めなければいけません。斜面の問題では，斜面方向とそれに垂直な方向への分解をすると計算しやすいことが多く，その場合にそうするのであって，斜面の問題でも水平・鉛直2方向へ分解した方がよい場合もあるのですよ。実際にやってみてどちらが解きやすいか自分で比較してみるとよいでしょう。もっとも，今回の問題は摩擦力が関わっているので，摩擦力と垂直抗力が明らかになるように分解しないと意味がありませんね？
斜面の場合は・・・，立てかけた棒の場合は・・・というふうにマニュアル的に暗記すると本当の理解はできません。