問2なのですがなぜ垂直抗力は仕事をするんでしょうか。垂直抗力は小球の運動方向に対して垂直なので仕事を

Question

問2なのですがなぜ垂直抗力は仕事をするんでしょうか。垂直抗力は小球の運動方向に対して垂直なので仕事をしないと思っていたのですが…
また、重力のした仕事と垂直抗力のした仕事の和が、エネルギーの変化量という解釈はあっていますか？

masterkoto · Accepted Answer

床と台の間には摩擦が無いので台も小球から力積（力）をうけて動きます。
台に乗っかてる人から見た場合、小球がどの位置にあるときでも
小球の瞬間の速度は台の接線方向ですよね
(この台（の人）から見た速度は
台に対する小球の相対速度です。)
という事は、小球の相対速度は垂直抗力と垂直です。
この台に対する小球の相対速度を→V（ベクトルV)
床から見た（実際の）小球の速度を→Vs
床から見た（実際の）台の速度を→Vd
とすると
→V=(→Vs)-(→Vd)という関係がありますよね。
つまり
(→V)+(→Vd)=(→Vs)です。
そこで、小球が台のある1点にいるとき、そのポイントを拡大したのが下図です
（拡大率が大きいので、曲面はほぼ平らに見えています）
この３つの速度ベクトルの関係を図示しています。
→Vは斜面の接線方向
台は小球から押され水平左向きの速度を持つので、→Vdは水平左向きです。
上式から→Vsは→Vと→Vdの和ですから画像のように→Vと→Vdを合成したものが→Vsです。この画像からわかるとおり床から見た（実際の）小球の速度→Vsは垂直抗力と90度ではありません。（赤矢印の角度はVdとVの速度によって刻々と変わると思われます）
さて、床からの立場で考えると、画像の瞬間の小球の移動方向は、実際の小球の速度→Vsと同じ向きですから、小球の移動方向と垂直抗力は90度ではありません。
したがって、垂直抗力は小球の移動方向と平行な成分と、垂直な成分に分解できます。
この平行な成分が小球に対して仕事をするのです。

重力のした仕事と垂直抗力のした仕事の和が、エネルギーの変化量という解釈はあっていますか？
＞力学的エネルギー保存則を思い出してください。
重力、弾性力などの保存力だけから仕事をされる場合力学的エネルギーは保存されます。
したがって、重力の仕事は小球の力学的エネルギー（の総量）を変化させてはいません。
ただ、非保存力である垂直抗力からされる仕事は小球の力学的エネルギーを増減させます。
この垂直抗力の仕事分が、小球から台に移る力学的エネルギー分に相当します。

yhr2 · Answer

No.2です。「補足」の「問題の続き」を見ました。台も床上を摩擦なしですべって動くのですね。
よく見たら、前半に「すべての摩擦は無視できる」と書かれていましたね。見落としていました。

ということは、台が水平方向に加速度運動するので、「台の上の座標で見た垂直抗力の大きさ」は、床の上の座標から見た「垂直抗力の大きさ」とは異なるということです。（「台の上の座標」で見ると、台自体が加速度運動しているので「慣性力」が働き、小球に働く「重力」に相当するものが鉛直下向きではない）
垂直抗力は「小球が斜面を押す力（台の上の座標で見ると斜面に垂直）」の反作用ですが、「小球が斜面を押す力」のうちの「水平成分」が台を水平方向に加速します。つまり仕事をします。

従って、その反作用である垂直抗力は、その分だけ「負の仕事をする」ことになります（正の仕事をするのは「小球が斜面を押す力」）。
台が静止していれば、最初の位置エネルギーはすべて「小球の運動エネルギー」になりますが、台が加速度運動することにより、台の運動エネルギー分だけ小球の運動エネルギーは小さくなります。
その「小球の運動エネルギーが小さくなった分」が「垂直抗力の負の仕事」になります。
つまり「負の仕事」が
　mgh - (1/2)mv^2 (= (1/2)MV^2)

仕事は、力の方向を正として扱うので、「垂直抗力のする仕事」は、この符号を逆転させて
　-[mgh - (1/2)mv^2] = (1/2)mv^2 - mgh (= -(1/2)MV^2)
選択肢では「３」かな。

「仕事」は、「した仕事」とか「された仕事」などが複雑なので、どうも苦手です。毎日の仕事はもっと嫌いですが。
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/sigoto/sigoto.html

masterkoto · Answer

#5です
重力のした仕事と垂直抗力のした仕事の和が、エネルギーの変化量という解釈ついて
仕事はする側と、される側がありますよね。
仕事の分量だけ、した側はエネルギーを減らし、された側はエネルギーを増やします。
仕事はエネルギーの受け渡しという事になります。

さて、ご質問についてですが、エネルギーの変化量とはおっしゃいますが、何のエネルギーなのかという事が重要です
話を簡単にするために、垂直抗力は仕事をしないと仮定して
初めに小球が持っていた（重力による）位置エネルギーについて言うのなら、
重力が小球に仕事をすると、した側の位置エネルギーはその分量を減らします。・・・①
そして、された側の小球は運動エネルギーとしてその分量を増やします。・・・②
このとき、位置エネルギーから運動エネルギーに変わったエネルギーの総量と仕事が等しいのです。・・・③
また、力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの和）について言うなら
①および②③から重力が仕事をする前後で、小球の運動エネルギーと位置エネルギーの和は変化しませんから
重力の仕事によって力学的エネルギーは変化しません。
このように、どのエネルギーを考えるかで、その変化量は変わります。

次に垂直抗力の仕事を考えます。
作用反作用から、小球が受ける垂直抗力と同じ大きさで逆向きの力で、小球は台を押しますから
台がこの力で動かされたならば、小球は台に対して仕事をしたことになります。
前記のように、仕事をしたがわは、エネルギーを減らしますから、小球の力学的エネルギー（はじめに持っていた位置エネルギー）はこの力の仕事の分量だけ減少します。
反対に仕事分だけ台は力学的エネルギーを増します。
ただし、小球から台にエネルギーが移っただけだから、台と小球の力学的エネルギーの総和は、初めの小球の位置エネルギーに等しいことになります。

tknakamuri · Answer

>問2なのですがなぜ垂直抗力は仕事をするんでしょうか。
台や小球の運動方向が垂直抗力に対して垂直じゃないからです。
台が動いているので当然ですよね。

>エネルギーの変化量という解釈はあっていますか？
質問が不明瞭ですが

台の運動エネルギー+小球の運動エネルギー+小球の位置エネルギー=ー定

です。所謂カ学的エネルギー保存則

垂直抗力は小球から台への運動エネルギーの分配に関わりますが、
運動エネルギー総量の変化には関わりません。
これは小球と台の接触点.(力の作用点)が共通のー点で、
作用反作用の法則により互に作用する力の向きが正反対で同じ大きさだからです。

運動エネルギーの総量の変化は重カが小球に与えたエネルギーです。

垂直抗力は内力ですから、運動量も保存されます。
これと組み合わせれば簡単に全て求まります。

りと0727 · Answer

垂直抗力は仕事をしていません。特に非保存力も仕事をしていませんから、
エネルギーは保存します。
vとVを求めたいならいつも通り運動量保存とエネルギー保存則の式をたてるだけです。
1/2mv＾2＋1/2MV＾2
＝mgh
mv－MV＝0
これを解くだけです

rnakamra · Answer

下の台が固定されていない場合、床に対して静止した系から見ると垂直抗力は仕事をしていると観測されます。

垂直抗力の向きは斜面の接しているところに垂直なのですが、斜面に対して静止している系から見ると斜面を滑っている物体の運動方向と垂直となるため仕事をしていません。
ですが、斜面が動いていると観測する系からだと物体の速度の向きと垂直抗力の向きは垂直とならないため垂直抗力が仕事をしていることになります。

次のようなこともいえたりします。
床に静止している物体を横から押します。
押す力と静止摩擦力がつりあい物体は動きません。
静止摩擦のしている仕事の大きさは常にゼロか、というとそうとは限りません。
床に対して動いている人から見ると物体が動いているため摩擦力が仕事をしている、と観測されます。
(観測者が床に対して一定の速度で動いているとき、物体の運動エネルギー(≠0)は変化しません。これは静止摩擦のする仕事と物体を押している力の仕事が打ち消しあっているからです。)

yhr2 · Answer

おっしゃる通り、垂直抗力は仕事をしません。
垂直抗力に比例して発生する「摩擦力」が仕事をします。

＞重力のした仕事と垂直抗力のした仕事の和が、エネルギーの変化量という解釈はあっていますか？

いいえ。エネルギーの「もと」となっているのは、重力による「位置エネルギー」だけです。それが「どんなエネルギーに変わるか」だけの話で、増えたり減ったりはしません。

空気の抵抗とか、小球の回転とか、様々なエネルギーの行き先を無視すれば、
　最初の重力による位置エネルギー = 小球の運動エネルギー + 摩擦力のした仕事（熱や音や変形のエネルギーに変わる）
ということです。（熱＝摩擦熱、音＝ゴロゴロという回転・こすれ音、変形＝小球や斜面が削れるかも）
おっしゃっている「エネルギーの変化量」が、何を対象にしているかで言い方が変わります。

masterkoto · Answer

問い２がないようですが・・・

問2なのですがなぜ垂直抗力は仕事をするんでしょうか。垂直抗力は小球の運動方向に対して垂直なので仕事を

床と台の間には摩擦が無いので台も小球から力積（力）をうけて動きます。

No.2です。

#5です

>問2なのですがなぜ垂直抗力は仕事をするんでしょうか。

垂直抗力は仕事をしていません。

下の台が固定されていない場合、床に対して静止した系から見ると垂直抗力は仕事をしていると観測されます。

おっしゃる通り、垂直抗力は仕事をしません。

問い２がないようですが・・・

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