関数ｆ（ｘ）は閉区間Ｉ＝[０,1]で連続で、０≦ｆ（ｘ）≦１ （ｘ∈Ｉ

関数ｆ（ｘ）は閉区間Ｉ＝[０,1]で連続で、０≦ｆ（ｘ）≦１　（ｘ∈Ｉ）を満たしているとする。この時、方程式ｆ（ｘ）＝ｘはＩで解を持つことを示してください。

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： lord2blue 回答日時： 2010/07/05 20:51

与式を移項して

f(x)－x＝０

ここで、０≦f(x)≦１、０≦x≦１であるので、

ｘ＝０の時
f(０)－０≧０

ｘ＝１の時
f(１)－１≦０

関数f(ｘ)は連続であるので、中間値の定理(でしたっけｗ)により
∃ｘ∈I　s.t.　f(ｘ)－ｘ＝０

意訳
f(ｘ)－ｘのグラフを書くと、
ｘ＝０の時はｘ軸より上に点があって、
ｘ＝１の時はｘ軸より下に点があって、
連続な関数だからその点同士がなめらかにつながっているグラフが書ける。
そうしたらｘが０から１の間で必ずグラフがｘ軸と交差する。
その点のｘ座標は
f(ｘ)－ｘ＝０
つまり
f(ｘ)＝ｘ
を満たすｘである。

No.1 回答者： fujillin 回答日時： 2010/07/05 20:22

f(x) - x = 0 が区間 [0, 1]で成り立てばよいことになる。

as x = 0　　 f(0) - 0 >= 0
as x = 1　　f(1) - 1 ≦ 0

f(x) , x が連続なので f(x) - x は区間[0, 1]内で必ず0となる。