【簡単だと思いますが】円の体積、表面積の公式。

【簡単だと思いますが】円の体積、表面積の公式。
確か体積は３分の４πｒ＾３で、表面積は４πｒ＾２ですよね。

どうしてそうなんでしょうか？

私には小学校レベルの知識しかないのです。
その通り、云ってしまうと中１だということですが・・・。
優しく教えてくださる方、いますでしょうか？

教えてください！！

私死んでも良いので・・・。





教えてくださぁい！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2010/08/09 22:06

こんにちは。

高校の２～３年で習う微分（びぶん）、積分（せきぶん）、三角関数（さんかくかんすう）の知識が必要です。
以下は、過去にある質問に対して私が書いた回答の一部を抜粋・再編集したものです。
イメージがわかりやすいように地球儀にたとえて、普通の数学の本などとは一味違った説明をしています。

これでも難しく感じるかもしれませんが、意味がわからなくても何となくイメージが湧けば、一歩前に進めたことになります。

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私は文献等を参照にしていませんし、数学もあまり得意でないですが、学生の頃から個人的に考えていたことに基づいて書きます。

地球儀で考えるとよいですが、三次元は極座標は（ｒ，θ，φ）で表せます。
ｒ（あーる）は中心からの距離、θ（しーた）は緯度、φ（ふぁい）は経度です。

このとき重要な事実は、
「半径ｒ方向に対して、角度θとφの方向は常に垂直で、かつ、θとφも互いに垂直方向である」
ということです。

二次元で考えれば簡単です。半径に対して、円周に沿う方向は垂直ですよね？
（だから、円の面積は、底辺２πｒ、高さｒの三角形と同じ面積になるのです。円の「底辺」である円周と「高さ」である半径とは、常に垂直ですから。）

地表で見れば、
θが－９０度（南緯９０度）～＋９０度（北緯９０度）の範囲で動いた軌跡も、
φが－１８０度（西経１８０度）～＋１８０度（東経１８０度）の範囲で動いた軌跡も、
地球の中心から見れば、それは全て地表（球の表面）での動きですから、ｒ（半径方向）に対して垂直です。

球の表面積は、４πｒ^2　だとわかっているとすると、
球の体積は、半径ゼロから半径ｒまでの薄皮の球の表面積の集合ですから、
∫４πｒ^2・ｄｒ　＝　３分の４　×　πｒ^3
となります。
つまり、表面積が既知であれば、球の体積は簡単に求まります。

ですから、先に球の表面積を求めるのが重要になります。

θとφの取るべき範囲は上述したとおりですが、度の単位をラジアンに書き直しますと

θの範囲：－９０度～９０度　→　－π／２～＋π／２
φの範囲：－１８０度～＋１８０度→　－π～＋π


θ（緯度）を固定して考えますと、φを－π～＋πの範囲で振れば、φの軌跡は円になります。
その、一つの円の半径は、ｒ・cosθ
したがって、一つの円周は、２πｒ・cosθ　です。
球の表面は「一つの円周」の集合体ですから、
この円周を、θ＝－π／２～＋π／２　の範囲で積分すれば、球の表面積になるはずです。
円周の太さは、微小なθ幅ｒｄθです。

表面積を求めるのですから、ｒは固定です。

∫２πｒcosθ・ｒｄθ　＝　２πｒ^2・∫cosθ・ｄθ
　＝　２πｒ^2［sinθ］
　＝　２πｒ^2・（１－（－１））
　＝　４πｒ^2　＝　球の表面積

表面積が　４πｒ^2　だとわかったので、上に書いたとおり、体積は　４／３・πｒ^3　です。

この回答へのお礼

地球儀ですね、
例えが良くって分かりました！！

読み方なども上手に丁寧に書いてあり、分かりました。

有難うございました！

お礼日時：2010/08/09 23:22

No.5 回答者： oo14 回答日時： 2010/08/09 22:39

すみません

明らかな間違いが。球の体積は、
「身の上心配あーるの惨状」でした。
体積ですもんね。
なんせ、計算尺世代。
オーダーさえあっておれば、
アポロ１３号ではないですが
計算尺だけで月から帰ってくる指示が出せる世代。
人生オーダーです。２ケタ半です。
面積か体積かは結果でおかしいと気がつく世代
以上いいわけでした。
ごめんなさい。

この回答へのお礼

ユニークな回答、笑い転げてしまいました。

面白すぎて、
私も変になってしまいそうでした。

なんか
有難うございます！

お礼日時：2010/08/09 23:30

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2010/08/09 22:32

３度目。

お邪魔します。
「微分（びぶん）、積分（せきぶん）、三角関数（さんかくかんすう）」
などという、いかつい用語でうんざりしたかもしれません。
ところが、身の回りで目にするすべての現象は、微分、積分と関係します。

わかりやすい例だと、
自動車の運転免許を取るときの筆記試験で、
ブレーキを踏んでから止まるまでの距離というのは、
ブレーキを踏む前の速さが２倍になれば止まるまでの距離は４倍になり、
ブレーキを踏む前の速さが３倍になれば止まるまでの距離は９倍になる、
ということが出題されますが、
これも、微分・積分を知っていれば簡単にわかります。

それから、
三角関数は、単純なところでは、打ち上げ花火の光と音のずれが何秒かと、何度の角度に見えるかということから、打ち上がった高さを計算することができます。
工業高校の電気科では電気回路の計算を習いますが、知らず知らずのうちに三角関数と微分・積分を利用することになります。

以上、余談でした。

この回答へのお礼

３度目ですか。。。
根気が要りますね、

根気（？）ですかね？
いいや、そうじゃないかもしれないですが・・・。
やっぱり、微分・積分・三角関数は大切みたいですね。

重要ポイントが分かりました！

色々有難うございました！！

お礼日時：2010/08/09 23:27

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2010/08/09 22:09

Ｎｏ．２の回答者です。

題目が「円の体積、表面積の公式」となっていますが、
正しくは「球の体積、表面積の公式」ですよね？
そうでないと、
「体積は３分の４πｒ＾３で、表面積は４πｒ＾２」
にならないので。

しかし、前の回答で円の面積にも触れていますけどね。

この回答へのお礼

あ、そうですね、
球と円では何か違いますね。
２次元と３次元の違いですね。

はい、分かりました。

有難うございました！

お礼日時：2010/08/09 23:24

No.1 回答者： oo14 回答日時： 2010/08/09 21:57

積分とかできればわかります。

いってみれば大人になったらわかるよ。
ではなく、思春期まっただなかになってら
教えてくれる人が現れるし、それまでの知識を総合すれば
理解できます。
（ちなみに理解できなければ大学は諦めたほうが。）
それまでは、「身の上心配アールの事情」とか
「心配アールの二乗」とかを繰り返し唱えることです。
「なむあみだぶつ」と唱える以上の御利益があります。
なんせ、３０歳ぐらいで、この回答ができる人って
理系大卒でもきわめて少数です。（経験的に）

この回答へのお礼

えええ、
理系大卒でも答えれる人が少ないなんて・・。

ビックリしました、
－
諦めるって・・・。

理解しないわけないですよ（怒←？）。
もう・・・。
↑怒ってません。有難うございます！！

お礼日時：2010/08/09 22:25