数学II 比例式の値 （赤チャート）

数学II　比例式の値　（赤チャート）
赤チャートの例題１９
（２）b+c/a=c+a/b=a+b/cのとき、この式の値を求めよ。
答案
b+c/a=c+a/b=a+b/c=k　とおくと
b+c=ak, c+a=bk, a+b=ck.....1
辺々を加えると　2(a+b+c)=(a+b+c)k
[1]a+b+c≠0のとき　k=2
このとき,1を解くとa=b=cであり、abc≠0とすることができる。
[2]a+b+c=oのとき　b+c=-a
よって　k=b+c/a=-a/a=-1
答　a+b+c≠0のとき2,a+b+c=0のとき-1
例題１９の下の練習２７
a+1/b+c+2=b+1/c+a+2=c+1/a+b+2のとき、この式の値を求めよ。
分母は0でないから
b+c+2≠0,c+a+2≠0,a+b+2≠0
a+1/b+c+2=b+1/c+a+2=c+1/a+b+2=kとおくと
a+1=k(b+c+2).....1
b+1=k(c+a+2).....2
c+1=k(a+b+2).....3
1+2+3からa+b+c+3=2k(a+b+c+3)
すなわち(2k-1)(a+b+c+3)=0
よってk=1/2またはa+b+c=-3
a+b+c=-3のとき、b+c+2=-a-1であるから
a≠-1でありk=a+1/b+c+2=a+1/-a-1=-1
k=b+1/c+a+2,k=c+1/a+b+2についても、それぞれb≠-1,c≠-1であり、同様にk=-1となる。.....※
よって、求めるkの値は
a+b+c≠-3のとき1/2,a+b+c=-3のとき-1
質問
１．例題１９の（２）に関して「指針」で「求めたkの値に対しては、分母≠0(a≠0,b≠0,c≠0)を忘れずに確認する。」と書いてあったのですが、[2]の場合で分母≠0確認がなかったのはなぜですか。
２．練習２７に関して、k=1/2の場合で分母≠0の確認がなかったのはなぜですか。
３．、例題１９（２）の[2]の場合では、k=c+a/b,k=a+b/cについてもk=-1となることを確認していないのに練習２７では※のように確認しているのですか。
質問が長くなってすみません。詳しく教えていただけると助かります。

No.1 ベストアンサー 回答者： Hyokko_Lin 回答日時： 2010/08/15 23:24

当方、赤チャートを持っていないので、抜けや間違いがあったらごめんなさい。

★質問1に対して
例題19(2)に関しては、2(a+b+c)=(a+b+c)kとしてからの扱いが問題になります。
ここで、k=の形にするために、両辺を(a+b+c)で割って、
k=2*(a+b+c)/(a+b+c)=2……(☆)
としてしまう、というのがよくあるミスです。
変数を含んだ式で割るときには、常に「ゼロ除算」の可能性を考慮する必要があります。
(a+b+c)≠0、つまり分母≠0のとき（[1]の場合ですね）には、(☆)の計算が成り立ちます。
しかし、(a+b+c)=0、つまり分母=0のとき（[2]の場合ですね）には、(☆)の計算は間違いになってしまい、別の方法によって答えを求める必要があるのです。
[2]で分母≠0の確認がなかったのは、分母が0の場合を考えているからなのです。

★質問2に対して
練習27でk=1/2の場合には、与式の分母≠0（b+c+2≠0,c+a+2≠0,a+b+2≠0）なので、改めて分母≠0を確認する必要がありません。他に変数を含んだ式での除算を行っている場所がないですね。

★質問3に対して
与式はa,b,cに対して対称だから、aについて成り立っていれば他も成り立つだろう、と言ってしまえば当たり前だと思うんですが、この場合には一応確認しておくほうが丁寧なのでしょうね。
ここでは、a≠-1（または、b≠-1,c≠-1）を明示することを重要視しているのだと思います。
a=-1だと、
a+1=k(b+c+2)、b+c+2≠0
より、k=0になって破綻してしまいますしね。（b=-1、c=-1に対しても同様）

この回答へのお礼

詳しく教えていただきありがとうございました。

お礼日時：2010/08/16 09:43